Свойства касательных, хорд и секущих

Две касательные из одной точки

Свойства:

• отрезки касательных от этой точки до точек касания равны;
• прямая, проходящая через центр окружности и заданную точку, делит угол между касательными пополам.

• центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Угол между касательной и хордой с общей точкой на окружности.

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

ТЕОРЕМА 1

Мера угла между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами.

ТЕОРЕМА 2

Если из одной точки M к окружности проведены касательная MA и секущая MB, пересекающая окружность в точке C (рис. 7), то справедливо равенство MA² = MB * MC.

Свойство хорд окружности.

Свойства:

• Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Обратно: диаметр, проходящей через середину хорды (не являющуюся диаметром) перпендикулярен ей.
• Равные хорды окружности находятся на равном расстоянии от центра окружности. Обратно: на равном расстоянии от центра окружности находятся равные хорды.
• Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны.
• Если две хорды AB и CD пересекаются в точке M, то AM * MB = CM * MD, т. е. произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.
• Если в окружности радиуса R вписанный угол, опирающийся на хорду длины a, равен α,то a = 2R*sin(α).

ТЕОРЕМА 3

Пусть AD - биссектриса треугольника ABC, тогда AD² = AB*AC - BD*CD или по рисунку AD² = bc-xy.

P.S: Материал взят из лекций ЗФТШ. Статья является лишь структурированным конспектом основной лекции.