Две касательные из одной точки
Свойства:
- отрезки касательных от этой точки до точек касания равны;
- прямая, проходящая через центр окружности и заданную точку, делит угол между касательными пополам.
- центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Угол между касательной и хордой с общей точкой на окружности.
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
ТЕОРЕМА 1
Мера угла между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами.
ТЕОРЕМА 2
Если из одной точки M к окружности проведены касательная MA и секущая MB, пересекающая окружность в точке C (рис. 7), то справедливо равенство MA² = MB * MC.
Свойство хорд окружности.
Свойства:
- Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Обратно: диаметр, проходящей через середину хорды (не являющуюся диаметром) перпендикулярен ей.
- Равные хорды окружности находятся на равном расстоянии от центра окружности. Обратно: на равном расстоянии от центра окружности находятся равные хорды.
- Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны.
- Если две хорды AB и CD пересекаются в точке M, то AM * MB = CM * MD, т. е. произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.
- Если в окружности радиуса R вписанный угол, опирающийся на хорду длины a, равен α,то a = 2R*sin(α).
ТЕОРЕМА 3
Пусть AD - биссектриса треугольника ABC, тогда AD² = AB*AC - BD*CD или по рисунку AD² = bc-xy.
P.S: Материал взят из лекций ЗФТШ. Статья является лишь структурированным конспектом основной лекции.
