Я продолжаю цикл статей про великих ученых. Сегодня мы узнаем про ученого, без трудов которого не было бы Теории относительности (или если бы был, был бы позже).
Бернхард Риманн, (родился 17 сентября 1826 года, Брезеленц, Ганновер [Германия] - умер 20 июля 1866 года, Селаска, Италия), немецкий математик, чьи глубокие и новые подходы к изучению геометрии заложили математические основы теории относительности Альберта Эйнштейна . Он также сделал важный вклад в теории функций,комплексный анализ и в теорию чисел .
Риман родился в семье бедного лютеранского пастора, и всю свою жизнь он был застенчивым и замкнутым человеком. Ему повезло иметь учителя который признал его редкие математические способности и передавал ему лучшие на тот моент книги для чтения. Он продолжил изучать математику в Геттингенском университете в 1846–47 и 1849–51 годах и в Университете Берлина (ныне Университет Гумбольдта в Берлине). Затем он постепенно продвигался по академической профессии через череду плохо оплачиваемых рабочих мест, пока в 1859 году не стал полноценным профессором и впервые в своей жизни получил финансовую стабильность. Однако в 1862 году, вскоре после свадьбы с Элизой Кох, Риман серьезно заболел туберкулезом и он умер в Италии в 1866 году.
Визиты Римана в Италию были важны для развития современной математики.
Энрико Бетти, в частности, занялся изучением римановых идей. Плохое состояние здоровья не позволило Риману опубликовать все его работы, а некоторые из его лучших работ были опубликованы только посмертно - например, первое издание Римана « Gesammelte mathematische Werke» (1876; «Сборник математических работ»), отредактированное Ричардом Дедекиндом и Генрихом Вебером.
Влияние Римана изначально было меньше, чем могло бы быть.
Геттинген был небольшим университетом, Риман был плохим преподавателем, и, что еще хуже, некоторые из его лучших учеников умерли молодыми. Его несколько статей также трудно читать, но его работы завоевали уважение некоторых из лучших математиков в Германии, включая его друга Дедекинда и его соперника в Берлине Карла Вейерштрасса.
Другие математики были постепенно привлечены к его работам их интеллектуальной глубиной, и таким образом он установил повестку дня для концептуального размышления над гениальным вычислением. Этот акцент был поднят Феликсом Кляйном и Дэвидом Гильбертом который позже основал Геттинген как всемирный центр математических исследований с Карлом Гауссом и Риманом в качестве его знаковых фигур.
В своей докторской диссертации (1851 г.) Риман представил способ обобщения изучения полиномиальных уравнений от двух вещественных переменных на случай двух комплексных переменных. В реальном случае полиномиальное уравнение определяет кривую на плоскости. Поскольку комплексную переменную z можно рассматривать как пару вещественных переменных x + i y (где i = квадратный корень из√ −1 ), уравнение, включающее две комплексные переменные, определяет вещественную поверхность - теперь известную как Риманова поверхность - распределена по плоскости. В 1851 году и в своей более широко доступной работе 1857 года Риман показал, как такие поверхности можно классифицировать по числу, которое впоследствии назовут родом, которое определяется максимальным числом замкнутых кривых, которые можно нарисовать на поверхности, не разбивая ее на отдельные части. Это одно из первых значительных применений топологии в математике.
В 1854 году Риман представил свои идеи о геометрии для официальной докторской квалификации в Геттингене; пожилой Гаусс был экзаменатором и был очень впечатлен. Риман утверждал, что фундаментальными составляющими для геометрии являются пространство точек (называемое сегодня многообразием ) и способ измерения расстояний вдоль кривых в пространстве. Он утверждал, что пространство не обязательно должно быть обычным евклидовым пространством и что оно может иметь любое измерение (он даже рассматривал пространства бесконечного измерения). Также нет необходимости, чтобы поверхность была нарисована целиком в трехмерном пространстве. Несколько лет спустя это вдохновило итальянского математика Эудженио Бельтрами на создание именно такого описания неевклидоваой геометрии , первый физически правдоподобная альтернатива к евклидовой геометрии . Идеи Римана пошли дальше и оказались математическим обоснованием четырехмерной геометрии пространства-времени в теории общей теории относительности Эйнштейна . Похоже, что Римана привела к этим идеям отчасти его неприязнь к концепции действия на расстоянии в современной физике и его желание наделить пространство способностью передавать силы, такие как электромагнетизм и гравитация .
В 1859 году Риман также ввел теорию сложных функций в теорию чисел. Он взял дзета-функцию, которая изучалась многими предыдущими математиками из-за ее связи с простыми числами, и показал, как воспринимать ее как сложную функцию. Стандартные методы в теории сложных функций, благодаря Августину-Луи Коши во Франции и Риману, дали много информации о распределении простых чисел, если бы можно было показать, что все нетривиальные нули лежат на этой прямой - гипотеза, известная как Риман гипотеза.
Все нетривиальные нули, обнаруженные к настоящему времени, находятся на критической линии. На самом деле, на этой линии было обнаружено бесконечно много нулей. Таких частичных результатов было достаточно, чтобы показать, что число простых чисел, меньших любого числа x , хорошо аппроксимируется x / ln x . Римана гипотеза была одна из 23 проблем , которые Гильберт решил в своем знаменитом «Проблемы математики.» На протяжении многих лет все больше математических идей основывалось на предположении, что гипотеза Римана верна; его доказательство или опровержение имело бы далеко идущие последствия и дало бы мгновенную известность.
Риман по-новому взглянул на смысл существования математических объектов. Он искал общие доказательства существования, а не «конструктивные доказательства», которые фактически производят объекты. Он полагал, что этот подход привел к концептуальной ясности и предотвратит потерю математика в деталях, но даже некоторые эксперты не согласились с такими неконструктивными доказательствами. Риман также изучал сравнение функций с их тригонометрическими представлениями или представлениями ряда Фурье , что привело его к уточнению представлений о разрывных функциях. Он одним из первых начал изучать дифференциальные уравнения с участием сложных переменных, и его работа привела к глубокой связи с теорией групп . Он ввел новые общие методы в изучение уравнений с частными производными и применил их, чтобы произвести первое крупное исследование ударных волн.
