На каркасе единичного куба находятся восемь муравьев. Докажите, что найдутся два муравья, расстояние между которыми не больше, чем 1.
Задача была предложена в 4-м туре на московской математической регате 10 классов, прошедшей 29 февраля 2020 года.
Задачу 3.3 с той же регаты я разобрал раньше.
До регаты эта задача, придуманная Сергеем Ивановичем Токаревым, была на II Кавказской математической олимпиаде 2017 года (это уже традиционный турнир, проходящий весной в Майкопе) и на алма-атинской олимпиаде имени Шалтая Смагулова в 2019 году.
Будем рассуждать от противного. Заметим, что ни на каком ребре не могут сидеть два муравья. Если муравей сидит в вершине, то присвоим ему одно из трех ребер, выходящих из этой вершины и будем считать, что он сидит именно на нем. Тогда каждому муравью соответствует ровно одно ребро, на котором он сидит. Удалим из куба 4 ребра, на которых муравьи не сидят, и оставшиеся вершины и ребра будем считать вершинами и ребрами графа. В этом графе 8 вершин и 8 ребер. Как известно, тогда в нем есть цикл. Рассмотрим этот цикл. Пусть в нем k ребер. Тогда на этих ребрах сидит k муравьев. Длина цикла равна k, поэтому между какими-то двумя муравьями (считая по каркасу) расстояние не превышает 1. Но тогда и обычное расстояние между этими двумя муравьями не превосходит 1, q.e.d.
Аналогичные соображения используются и в задаче с недавнего 55 Уральского турнира юных математиков.
Из четырёх равносторонних треугольников со стороной 1 сложен треугольник со стороной 2. Какое наибольшее количество точек можно отметить на сторонах треугольников, чтобы расстояние между ними было больше 1? (Расстояние измеряется по линиям вдоль границ треугольников.)
Решение этой задачи предоставляется читателям. Впрочем, оно не должно вызвать трудностей.
