Всем привет!
Продолжаем разбирать задачи 55-го уральского турнира юных математиков. Все геометрические задачи турнира можно посмотреть тут. А за публикациями можно следить на телеграм-канале Олимпиадная геометрия.
Сегодня начинаем разбирать задачи туров, но все, конечно, не разберем, ибо их много, а на носу питерская олимпиада старших классов, московская городская олимпиада, и скоро уже можно будет разбирать задачи заочного тура олимпиады Шарыгина, о которой я писал тут.
Сегодня разбираем довольно простую задачу "с градусами", которая в первом туре попала во все лиги старшей группы. Напомню ее условие.
Всегда, когда я вижу такую задачу, я точно знаю, что надо сделать! Надо нарисовать прямоугольный треугольник! Углы в 45 и 30 градусов на это намекают. В нашем случае естественным образом это можно сделать, опустив из вершины A высоту AE на BC (ниже можно прочитать решение с проведением высоты из вершины B). Отмечу, что априори не известно, что угол B тупой, поэтому формально требуется разбирать два случая, но наше рассуждение от картинки зависеть не будет.
Проведя высоту мы заработали два замечательных прямоугольных треугольника: AEC с углом 30 градусов и AED с углом 45 градусов. Но это еще только полдела. Нам требуется как-то использовать ключевое условие — то что D является серединой стороны AC. Есть два стандартных способа активно подключить середину. Первый состоит в том, чтобы удвоить медиану, а второй в том, чтобы отметить еще какую-нибудь середину и провести среднюю линию. При нашем первом шаге в решении естественным выглядит отметить середину M гипотенузы AC треугольника AEC.
При этом мы получим, что EM=EA=ED и треугольник EMD равнобедренный с углом при вершине 30°. Значит углы при основании равны по 75° и
∠BAC= ∠DMC=180°– ∠EMA – ∠EMD=180°–60°–75° =45° ,
откуда ∠BAD=30°.
Второе решение.
Второе решение можно получить, если провести высоту из вершины B. Опять же, логика этого дополнительного построения проста — хочется заполучить на картинке "хороший" прямоугольный треугольник, при этом заранее нацелившись на то, что точка D окажется серединой гипотенузы.
Итак, провели высоту BF и обнаружили, что DF=DC=DB=BF, поскольку медиана отрезает от прямоугольного треугольника с углом 30 градусов равносторонний треугольничек. Для нас ключевым оказывается тот факт, что ∠BDF= 60°, а значит ∠ADF= 15°. Но углы треугольника ADC заданы в условии и ∠DAC= 15°. Следовательно, AF=FD=BF и мы заключаем, что треугольник ABF является равнобедренным прямоугольным, откуда ∠BAD=30°.
