Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности и останавливается через t=7 с. Определите расстояние, которое проходит шар до остановки, если коэффициент трения k=0.3. // Ремизов А.Н., Максина А.Г. "Сборник задач...", 2001 г., https://bookmix.ru/bookprice.phtml?id=84492
Данная задача перенабрана и представлена в более удобном виде.
В начальный момент времени шар обладает кинетической энергией Т. Наличие этой энергии связано с двумя видами движения - вращательным и поступательным. Данная энергия тратится на преодоление работы сил трения. Как только абсолютное значение работы сил трения A становится равным Т, шар останавливается. Таким образом, получаем соотношение:
T=A. (1)
Вычислим сначала начальную кинетическую энергию:
T=J*w0^2/2+m*V0^2/2=m*w0^2*R^2/5+m*w0^2*R^2/2=
=7*m*(w0*R)^2/10, (2)
где мы учли, что J=2*m*R^2/5 и V0=w0*R - скорость центра масс шара. Здесь необходимо сделать замечание, что скорость центра масс шара можно вычислить, если ввести понятие мгновенной оси вращения, проходящей через точку соприкосновения шара с поверхностью (см. рисунок выше, ось ортогональна плоскости рисунка). Относительно этой оси центр масс движется с угловой скоростью w0 (в начальный момент времени, а в произвольный - с w), отстоя от неё на расстояние R.
Теперь необходимо вычислить работу сил трения при торможении шара при его качении. Для этого воспользуемся справочной формулой для бесконечно малой работы dA:
dA=M*dfi, (3)
где dfi - бесконечно малый угол поворота тела и M - момент сил трения относительно оси, проходящей через центр масс. Для момента M имеем выражение
M=Ftr*R=k*mg*R. (4)
В формуле (4) мы учли, что сила трения есть произведение силы реакции опоры (m*g) и коэффициента трения k. Теперь нужно преобразовать величину dfi:
dfi=w(ts)*dts, (5)
где w(ts) - мгновенная угловая скорость тела в момент времени ts. При равномерном торможении силами трения (что следует из формулы (4), в которой сила трения Ftr не зависит от времени), для угловой скорости имеем:
w(ts)=w0-e*ts, (6)
где e - модуль углового ускорения. Его величина (см. задачу 2.16) есть
e=w0/t. (7)
Поэтому
w(ts)=w0*(1-ts/t). (8)
Подставим в формулу (3) выражения (4) и (5) с учётом проделанных выкладок:
dA=k*mg*R*w0*(1-ts/t)*dts. (9)
Таким образом, полная работа сил трения будет вычисляться как:
А=k*mg*R*w0*int(1-ts/t,ts=0..t)=k*mg*R*w0*(t-t/2)= k*mg*R*w0*t/2, (10)
где int() обозначает интеграл с переменной интегрирования ts. Запишем теперь в явном виде уравнение (1), которое позволит установить величину w0:
7*m*(w0*R)^2/10=k*mg*R*w0*t/2. (11)
уравнение (11) имеет один очевидный корень: w0=0, который нам не подходит - начальная скорость шара не равна нулю. Второй корень уравнения:
w0=5*k*t*g/(7*R). (12)
Проверим размерность выражения для w0:
[w0]=с*м/(м*с^2)=1/c.
Размерность угловой скорости w0 представляет обратные секунды, что и должно быть.
На данном этапе можно перейти к вычислению пути, пройденным шаром. Для этого нужно вычислить величину полного угла поворота FI шара относительно центра масс, разделив которую на 2*pi, мы получим полное число оборотов. При этом один оборот шара соответствует продвижению центра масс на расстояние 2*pi*R. Предлагаем читателю самостоятельно проверить это не самое очевидное утверждение. Для угла поворота fi(ts) имеем:
fi(ts)=fi0+w0*ts-e*ts^2/2=w0*ts*(1-ts/(2*t)). (13)
При ts=t имеем:
FI=fi(t)=w0*t/2. (14)
Вычислим путь S, пройденный шаром:
S=FI/(2*Pi)*2*Pi*R=FI*R=w0*R*t/2=5*k*t^2*g/14. (15)
Проверим размерность
[S]=c^2*м/с^2=м.
Действительно, размерность пути по формуле (15) получается в метрах. Подставим численные значения:
S=5*0.3*7^2*9.81/14=51.5 м.
Ответ: путь S=5*k*t^2*g/14=51.5 м. Отметим, что в ответе решебника содержится ошибка: коэффициент перед k*t^2*g равен 5/4, хотя должен быть 5/14.
