Дано уравнение движения тела: s=t^3/2+2*t^2, где s выражено в метрах, t - в секундах. Найдите путь s, пройденный телом за время t=1.92 с от начала движения. // Ремизов А.Н., Максина А.Г. "Сборник задач...", 2001 г.
Данную задачу в более удобном для восприятия виде можно посмотреть тут.
Задача из этого раздела подразумевает использование методов приближённых вычислений. В данном случае нужно разложить функцию s(t) в ряд вблизи t0=2 c ( или 1,9 с), отбросив слагаемые второго и более порядков малости. Можно, конечно, и вычислить путь тела за 1.92 с, непосредственно подставив время в выражение s(t).
Чтобы разложить в ряд функцию s(t), вычислим для неё производную s`(t):
s`(t)=3/2*t^2+4*t. (1).
Далее вычислим приближённое значение для пути s( t0+Dt ) как:
s( t0+Dt )= s( t0 )+s`(t0)*(t-t0) . (2)
Подставим в формулу (2) значение t0 и t:
s( 2+(-0.08) ) = s( 2 +(-0.08) ) =(2^3/2+2*2^2)+(3/2*2^2+4*2)*(-0.08)=10.25 м.
Здесь мы учли, что Dt<0. Можно выбрать в качестве t0 значение 1.9 с, тогда
s( 1.9+0.02 ) =11,06 м.
Отметим, что точное значение
s ( 1.92 ) = 10.91 м.
Видно, что при выборе точки, вблизи которой мы раскладываем функцию, ответ зависит от неё, и при установке t0 =1.9 с мы получаем наиболее близкое к истинному значение по сравнению со случаем t0 =2 с. Отметим, что погрешность r при t0 =1.9 с меньше двух процентов:
r=модуль( s ( 1.92 ) - s ( 1.9 ) )/ s ( 1.92 ) *100%=1,38%
Предлагаем читателю подсчитать погрешность определения пути в для первого случая самостоятельно.
Ответ: приближённое значение пути при выборе начальной точки t0=1.9 c s( 1.9+0.02 ) =11,06 м. Точное значение пройденного пути s(1.92)= 10.91 м.
