Сегодня разбираемся в единственной геометрии с личной олимпиады на 54-ом Уральском турнире юных математиков. Геометрия была только в восьмом классе, причем второй из пяти задач, что в целом говорит о ее простоте. Решило ее 50 участников из 172.
Итак, напомню условие.
Как доказывать, что один из отрезков в два раза короче другого? Надо либо отметить середину более длинного, либо удвоить более короткий. В нашей задача очень естественно можно сделать второе действие, пользуясь равенством углов при биссектрисе. Мы отразим точку P относительно прямой BQ, результат обозначим через R, тогда точке R лежит на прямой Jcnf и теперь надо доказывать, что PR=BQ.
Оставшуюся часть решения можно оформить по-разному. Я предпочитаю более идейные рассуждения. Давайте внимательно изучим, что от нас требуется. Нам надо доказать что отрезок BQ, высекаемый одной прямой на полосе между параллельными прямыми AD и BC, равен отрезку, высекаемому другой прямой PR не полосе между параллельными прямыми AB и DC. Поскольку ширины полос одинаковы, достаточно проверить, что секущие образуют одинаковый угол со своими полосами. Но это так, поскольку полосы перпендикулярны и выбранные прямые по условию перпендикулярны.
Если хочется это переделать в более школьное рассуждение, то надо опустить, скажем, из точки R перпендикуляр RS на прямую CD и доказать, что прямоугольные треугольники RSP и BAQ равны (в них равны катеты RS и BA и соответствующие острые углы).
Кстати, на гифке выше легко увидеть, что точка H движется по вертикальной прямой. Почему?
