Представьте себе классический футбольный мяч.
Усеченный икосаэдр
Поверхность мяча состоит из слегка искривлённых 12 правильных пятиугольников чёрного цвета и 20 правильных белых шестиугольников. Если бы грани были плоскими, получился бы многогранник, называемый усечённым икосаэдром.
Икосаэдр — один из пяти правильных многогранников. У икосаэдра 12 вершин, 20 граней — правильных треугольников, 30 рёбер.
«Отрежем» вершины икосаэдра, отступив от вершин вдоль прямых, направленных в центр, на столько, чтобы оставшиеся части граней были правильными шестиугольниками. Срезы будут правильными пятиугольниками. Получившаяся фигура и есть усечённый икосаэдр.
При «надувании» модели (усечённого икосаэдра) она принимает форму сферы, становится футбольным мячом. При этом вершины усечённого икосаэдра совпадут с «вершинами» мяча, рёбра перейдут в швы, а грани — в слегка искривлённые многоугольники на поверхности мяча. Таким образом получится мяч — центральная проекция усечённого икосаэдра на сферу.
Хорош ли мяч
Насколько такой мяч будет близок к сфере? Опишем вокруг модели сферу (проведем ее через вершины), а вторую сферу впишем в модель (это самая большая сфера, которая поместится внутри модели). Посмотрим на отношение радиусов этих сфер. Чем ближе это отношение к единице, тем совершеннее модель, тем ближе она к идеально круглому мячу.
Нет ли модели получше
А нельзя ли придумать модель мяча, состоящую из плоских деталей, но более совершенную, чем классическая? Можно было бы взять многогранник с бóльшим числом вершин, но это не устраняет принципиальный недостаток — вершины выступают над вписанной сферой и мешают модели стать сферой. К тому же процесс изготовления мяча существенно усложняется.
Бразука — мяч чемпионата мира 2014
Классический пятнистый мяч появился только в 1950 году. Он был официальным мячом на чемпионатах мира с 1970 до 2002 года. Затем наступило время экспериментов, а в 2014 году на чемпионате мира в Бразилии состоялась премьера нового официального мяча, получившего название «Бразука».
Модель «Бразуки» совершеннее классической и при этом «является кубом»! Как и куб, она собирается из шести одинаковых плоских деталей, на ней выделяются восемь особых точек (вершин), в каждой из которых сходится по три детали.
На границе каждой детали есть четыре угла по 120°. В вершинах модели встречаются три угла, сумма их величин равна 360°, поэтому поверхность мяча вокруг вершины будет уплощённой, выступающей вершины не будет.
Панели можно склеивать по линиям границ между углами, поскольку длины этих линий одинаковы. Выпуклые участки границ склеиваются с вогнутыми, а линии подобраны так, что в каждой точке склейки кривизна выпуклого участка была больше кривизны вогнутого. Плоские детали при склеивании изгибаются, образуя в результате замкнутую выпуклую поверхность. Возможность такой склейки гарантирует теорема А. Д. Александрова.
В модели классического мяча вся кривизна сосредоточена в конечном числе «выступающих» вершин. А в модели «Бразуки» она распределена более равномерно по длинным рёбрам, и из‐за этого модель становится более близкой к сфере.
Telstar 18
Официальный мяч чемпионата мира 2018 года в России назывался «Telstar 18». Его окраска напоминала мяч «Telstar» чемпионата 1970 года в Мексике, и по замыслу ФИФА название «Telstar 18» было данью уважения знаменитому мячу.
А по конструкции «Telstar 18» похож на «Бразуку»: его образуют шесть одинаковых деталей, то есть это мяч‐куб.
Отличие от мяча бразильского чемпионата — в форме деталей и, как следствие, в длине швов. У «Telstar 18» суммарная длина границ больше, значит, и кривизна больше «размазана» по поверхности мяча. Так что этот мяч с точки зрения математики — более круглый.
Источники
Текст статьи почти полностью взят из книги «Математическая составляющая» по договоренности с составителями книги.
Кроме фотографий, где указан источник, автор иллюстраций — Роман Кокшаров.