Момент инерции объекта представляет собой числовое значение , которое может быть вычислено для любого твердого тела , который претерпевает физическое вращение вокруг неподвижной оси. Он основан не только на физической форме объекта и его распределении массы, но также на конкретной конфигурации того, как объект вращается. Таким образом, один и тот же объект, вращающийся по-разному, будет иметь разные моменты инерции в каждой ситуации.
Международная система единиц ( единица СИ ) момента инерции составляет один килограмм на квадратный метр (кг-м 2 ). В уравнениях он обычно представлен переменной I или I P (как в приведенном уравнении).
Используя момент инерции
Момент инерции объекта, вращающегося вокруг неподвижного объекта, полезен при расчете двух ключевых величин при вращательном движении:
- Вращательная кинетическая энергия : K = Iω 2
- Угловой момент : L = Iω
Вы можете заметить, что приведенные выше уравнения чрезвычайно похожи на формулы для линейной кинетической энергии и импульса, причем момент инерции " I" заменяет массу " m", а угловая скорость " ω" заменяет скорость " v ". что еще раз демонстрирует сходство между различными концепциями вращательного движения и в более традиционных случаях линейного движения.
Расчет момента инерции
График на этой странице показывает уравнение того, как рассчитать момент инерции в его наиболее общем виде. В основном он состоит из следующих шагов:
- Измерьте расстояние r от любой частицы в объекте до оси симметрии
- Квадрат это расстояние
- Умножьте это квадратное расстояние на массу частицы
- Повторите для каждой частицы в объекте
- Добавьте все эти значения вверх
Для чрезвычайно базового объекта с четко определенным числом частиц (или компонентов, которые можно рассматривать как частицы), можно просто выполнить грубое вычисление этого значения, как описано выше. В действительности, однако, большинство объектов достаточно сложны, так что это неосуществимо (хотя некоторое умное компьютерное кодирование может сделать метод грубой силы довольно простым).
01из 11
Общая формула
Общая формула представляет самое основное концептуальное понимание момента инерции. В принципе, для любого вращающегося объекта момент инерции можно рассчитать, взяв расстояние каждой частицы от оси вращения ( в уравнении r ), возведя в квадрат это значение (это член r 2 ) и умножив его на массу этой частицы. Вы делаете это для всех частиц, составляющих вращающийся объект, а затем складываете эти значения вместе, и это дает момент инерции.
Следствием этой формулы является то, что один и тот же объект получает разное значение момента инерции в зависимости от того, как он вращается. Новая ось вращения заканчивается другой формулой, даже если физическая форма объекта остается прежней.
Эта формула является наиболее «грубым» подходом к расчету момента инерции. Другие представленные формулы обычно более полезны и представляют наиболее распространенные ситуации, с которыми сталкиваются физики.
02 из 11
Интегральная формула
Общая формула полезна, если объект можно рассматривать как набор дискретных точек, которые можно сложить. Однако для более сложной задачи может потребоваться применить исчисление, чтобы взять интеграл по всему объему. Переменная r является радиус- вектором от точки до оси вращения. Формула p ( r ) является функцией плотности массы в каждой точке r:
I-sub-P равна сумме i от 1 до N от величины m-sub-i, умноженной на r-sub-i в квадрате.
03 из 11
Сплошная сфера
Твердая сфера, вращающаяся на оси, проходящей через центр сферы с массой M и радиусом R , имеет момент инерции, определяемый по формуле:
I = (2/5) MR 2
04 из 11
Полая тонкостенная сфера
Полая сфера с тонкой незначительной стенкой, вращающейся по оси, проходящей через центр сферы, с массой M и радиусом R , имеет момент инерции, определяемый по формуле:
I = (2/3) MR 2
05 из 11
Твердый Цилиндр
Твердый цилиндр, вращающийся на оси, проходящей через центр цилиндра с массой M и радиусом R , имеет момент инерции, определяемый по формуле:
I = (1/2) MR 2
06из 11
Полый тонкостенный цилиндр
Полый цилиндр с тонкой, незначительной стенкой, вращающейся по оси, проходящей через центр цилиндра, с массой M и радиусом R , имеет момент инерции, определяемый по формуле:
I = MR 2
07 из 11
Полый цилиндр
Полый цилиндр с вращением на оси, проходящей через центр цилиндра, с массой M , внутренним радиусом R 1 и внешним радиусом R 2 , имеет момент инерции, определяемый по формуле:
I = (1/2) M ( R 1 2 + R 2 2 )
Примечание: если вы взяли эту формулу и задали R 1 = R 2 = R (или, что более уместно, взяли математический предел, когда R 1 и R 2 приближаются к общему радиусу R ), вы получите формулу для момента инерции полого тонкостенного цилиндра.
08 из 11
Прямоугольная пластина, осевой сквозной центр
Тонкая прямоугольная пластина, вращающаяся вокруг оси, перпендикулярной центру пластины, с массой M и длинами сторон a и b , имеет момент инерции, определяемый по формуле:
I = (1/12) M ( a 2 + b 2 )
09из 11
Прямоугольная пластина, ось вдоль края
Тонкая прямоугольная пластина, вращающаяся по оси вдоль одного края пластины, с массой M и длинами сторон a и b , где a - расстояние, перпендикулярное оси вращения, имеет момент инерции, определяемый по формуле:
Я = (1/3) Ма 2
10 из 11
Тонкий стержень, осевой сквозной центр
Тонкий стержень, вращающийся на оси, проходящей через центр стержня (перпендикулярно его длине) с массой M и длиной L , имеет момент инерции, определяемый по формуле:
I = (1/12) ML 2
11из 11
Тонкий стержень, ось через один конец
Тонкий стержень, вращающийся на оси, проходящей через конец стержня (перпендикулярно его длине), с массой M и длиной L , имеет момент инерции, определяемый по формуле:
I = (1/3) ML 2
