Алгебраически, успех современной физики во многом объясняется алгеброй Пуанкаре и алгебры Гейзен-берга. Фаддеев (хотя и ретроспективно) отметил, что квантовую и релятивистскую революции 20 века можно рассматривать как лигебраические стабилизации неустойчивых алгебр классической механики и галилейской относительности соответственно. Стабилизация этих алгебр дает алгебры Гейзенберга и Пуанкаре, которые являются индивидуально стабильными. Параметры деформации, вводимые в процесс деформации алгебры, соответствуют новым инвариантным шкалам, в приведенных выше примерах. Таким образом, деформации лжи алгебры обеспечивают систематический способ введения новых инвариантных шкал.
Утверждалось, что в квантовой космологии/гравитации функционально определенное представление о физическом пространстве неизбежно потребует как минимальной (порядка Планка) шкалы длины, так и космологической шкалы длины, и, кроме того, что алгебраически должен существовать механизм, описывающий, как лейтмотив Пуанкаре - алгебраическое описание современного дневного пространства времени соотносится с конформным алгебраическим описанием кварка, где в раннем пространстве времени находилась масса
С математической точки зрения, алгебра Ли, которая включает эти требования, уже существует. Хотя алгебры Пуанкаре и Гейзенберг по отдельности стабильны, комбинированная алгебра Пуанкаре-Гейзенберг, состоящая из алгебры Пуанкаре, расширенной генераторами положения, и их коммутационных связей с моментом, не обеспечивает желаемой стабильности. Его стабилизированная форма была найдена в работе [3]. Полученная стабилизированная алгебра Пуанкаре-Гейзенберга (СПГА) оказалась (вплоть до различных признаков) той же алгеброй, к которой Ян пришел в 1947 г. [10] на основе работы Снайдера, показавшего, что предположение о том, что пространство является непрерывным, не требуется для инвариантности Лоренца ранее в том же году [11]. Уникальность, вопрос, который не был решен Мендесом, позже продемонстрировали Хриссомалакос и Окон [4]. SPHA вводит в дополнение к c и , две инвариантные шкалы длины P и C , первая по порядку длины Планки, вторая - космологическую шкалу длины. Кроме того, в работе [7] было показано, что в определенном пределе эта алгебра удовлетворяет коммутационным соотношениям конформной алгебры пространства-времени. При сжатии P → 0 алгебра уменьшается до (анти) алгебры Ситтера; деформация алгебры Пуанкаре.
Одноэлетонная физика
Симметрии пространства-времени Минковского Пуанкаре деформируются до (анти) пространства-времени Ситтера благодаря введению шкалы длины C = Λ- 12 . Это открывает новые интересные возможности. Элементарные частицы в пространстве-времени Минковского связаны с унитарными несокращаемыми представлениями группы Пуанкаре (группы изометрии пространства-времени Минковского). В данном случае элементарные частицы должны также ассоциироваться с унитарными несокращаемыми представлениями не группы Пуанкаре, а группы "Анти-Ситтер".
Представления группы "Анти-де-Ситтер", как и группы "Пуанкаре", подтверждают положительную энергию мамы-миниатюры. Это означает, что представления этой группы естественным образом поддаются интерпретации частицами. Это не относится к группе де Ситтер. Наиболее фундаментальные несокращаемые представления группы анти-де-Ситтер были впервые обнаружены Дираком [12] и называются однотонными представлениями. В анти-де-Ситтер пространстве безмассовые частицы состоят из двух однотонных частиц [13]. Эти синглоны естественным образом ограничены (в кинематическом смысле), что также привело к вопросу о том, могут ли синглоны играть роль кварков [14]. Совместимость между однотонными представлениями и квантовой электродинамикой (КЭД) была продемонстрирована в работе [15].
Стабильная алгебра не может быть далее деформирована в рамках категории алгебры Ли. Однако можно деформировать законченную универсальную обволакивающую алгебру алгебры Лиги. Такая q-деформация является деформацией в категории алгебр Hopf и деформирует универсальную обволакивающую алгебру в квантовую группу.
Квантовые группы (которые представляют собой скорее алгебры, чем группы) обеспечивают обобщение знакомых концепций симметрии путем расширения области классической теории групп. Квантовые группы зависят от параметра деформации q со значением q = 1, возвращающего недеформированную универсальную обволакивающую алгебру, но для общей q, задающей структуру алгебры Hopf. Впервые формализованные Джимбо и Дринфельдом. Как класс алгебр Hopf квантовые группы нашли множество применений в теоретической физике.
Квантовая алгебра S Uq(n) имеет структуру алгебры Хопфа, допускающую допуск к совместному продукту, графу и антиподу. Они здесь не используются и поэтому мы их не определяем. В пределе q = 1 указанные соотношения подходят для универсальной обволакивающей алгебры U(su(n)), но для общей q они представляют собой деформацию универсальной обволакивающей алгебры su(n).