Алгебраические деформации обеспечивают системный подход к обобщению симметрий физической теории путем введения новых фундаментальных констант. Обсуждается применение деформаций алгебр Ли и алгебр Хопфа как к пространственно-временным, так и к внутренним симметриям. В качестве конкретного примера мы демонстрируем, как деформируется классическая ароматическая группа S U(3) в квантовую группу S Uq(3) ≡ Uq(su(3)) (а) алгебра Hopf) и с учетом электромагнитного разделения массы в изоспиновых мультипликаторах приводит к новым и исключительно точным правилам суммирования массы бариона, которые полностью согласуются с экспериментальными данными.
В этой короткой статье мы рассмотрим некоторые области применения алгебраических деформаций к пространственно-временным и внутренним симметриям. Теория деформации обеспечивает систематический метод обобщения физической теории путем навязывания дополнительных фундаментальных констант. Переход от галилейской относительности к специальной относительности, с фундаментальной шкалой c, и от классической механики к квантовой механике, с фундаментальной шкалой, можно понять с помощью деформаций в рамках категории алгебры Ли.
Комбиниированная алгебра времени
Комбинированная алгебра Poincaré-Heisenberg Lie, лежащая в основе стандартной модели (SM), может быть деформирована до полупростой алгебры путем введения двух дополнительных шкал фундаментальной длины, в результате чего в категории алгебр Lie больше не существует нетривиальных деформаций, и поэтому не могут быть введены другие фундаментальные шкалы.
Полученная алгебра является естественным кандидатом на алгебру симметрии в нижнем энергетическом пределе квантово-гравитационной области, а адаптация физики к структуре, учитывающей эту алгебраическую структуру, является логическим шагом к расширению SM. Его сектор энергетического импульса соответствует (анти)алгебре Ситтера (деформации алгебры Пуанкаре). Среди возможных новых физических проявлений - однотонные представления, несокращаемые унитарные представления на границе асимптотического анти-де-ситтера.
Классы деформации квантовых групп
Вторым классом деформаций являются q-деформации (q для квантования). Это деформации универсальной обволакивающей алгебры полупростой алгебры Ли в квантовые группы. То есть, это деформации в категории алгебр Hopf. Как пространственно-временные, так и внутренние симметрии могут быть q-деформированы, и квантовые группы нашли многогранное применение в физике, включая квантовую гравитацию и теорию манометров.
В качестве конкретного примера применения q-деформаций к внутренним симметриям мы рассматриваем недавний результат одного из авторов, который показывает, что замена группы вкусовой симметрии S U(3) на ее квантовую группу-аналог S Uq(3) и учет массового расщепления внутри барионных изоспиновых мультипликаторов приводит к формированию октетов и декуплетных формул бариона исключительной точности. Мы считаем это убедительным доказательством гипотезы о том, что квантовые группы играют важную роль в физике высоких энергий.
Большая часть формальной теории, относящейся к деформациям алгебры Ли, восходит к работам Герстенхабера [1], Нихенхуиса и Ричардсона [2] в 1960-х годах. Мы приводим здесь только краткий обзор.
Концепция стабильности в алгебре
Эта концепция стабильности дает представление о робастности физической теории (пространственно-временные симметрии которой закодированы в алгебре Ли) или о необходимости ее обобщения. При наличии алгебры Ли, описывающей симметрии физической теории, некоторые константы структуры зависят от определенных физических констант (например, c для алгебры Пуанкаре и для алгебры Гейзенберга). Числовые значения этих физических констант должны быть определены экспериментально и поэтому не известны без какой-либо ошибки. Стабильная алгебра Ли гарантирует, что физика не зависит от точного значения этих физических констант, так как любая небольшая деформация констант структуры возвращает изоморфную алгебру. То же самое не относится к алгебре, которая не стабильна. Таким образом, концепция стабильности дает представление о валидности физической теории или необходимости обобщения теории. Теория с симметриями, закодированными в нестабильной алгебре Ли, должна быть деформирована до достижения стабильной алгебры Ли, которая кодирует симметрии более широкой достоверности и представляет собой надежную физику, свободную от проблем точной настройки. Важность лигебраической стабильности впервые подчеркивал Мендес [3]. С тех пор несколько других также утверждали, что стабильность физически значимой алгебры Ли следует рассматривать как физический принцип [4-8].