Когда в шестом классе проходят отрицательные числа, ученики сталкиваются с одним их магическим свойством. Почему-то при перемножении отрицательных чисел получается положительное число. В школе это правило даётся как заклинание, которое звучит так: “минус на минус даёт плюс”. Часто это никак не объясняется и учеников просто просят запомнить. Иногда используют красивую метафору вроде “Враг моего врага — мой друг”, подразумевая, что друг — это положительное число, а враг отрицательное. Но это нисколько не объясняет причину этого правила.
В интернете можно прочесть объяснения, что это всего лишь обобщение действий над целыми числами и математики вот так договорились. Нам предлагают смириться и просто это принять. Но все же, давайте попробуем разобраться и построить такую модель из реальной жизни, которая нам покажет, что действительно “минус на минус” будет давать “плюс”.
Для начала зайдём издалека и разберемся с простым случаем, который иногда в школе всё же объясняют.
Представим, что есть некий человек и он должен трем своим друзьям по 100 рублей. Очевидно, что всем им вместе он должен 300 рублей. Мы просто умножили долг 100 рублей на 3 человека. Даже в младших классах большинство уже понимает, что долг — это отрицательные числа, и в целом понимает, что такое отрицательный баланс на телефоне. Поэтому многие ученики на примере долга сразу уясняют, что (-100)∙3=-300. Но такая схема не работает, если мы хотим перемножить (-100) и (-3). Мы же не можем быть должны отрицательному количеству людей...
Т.е. такая модель нам для объяснения не подходит. Давайте попробуем другую.
Пусть у нас есть поезд, который едет из Москвы в Санкт-Петербург. Для нас это будут точки А и В соответственно. Где-то посередине он проезжает мимо станции Бологое (точка О), это для нас и будет точка отсчёта. Если поезд будет находится справа от неё на расстоянии 50 км, мы будет говорить, что он находится в точке +50 км (или для удобства просто 50 км). Если поезд будет слева на расстоянии 50 км, то будем говорить, что он находится в точке -50 км. Знаки плюс и минус будут означать направления, а числа +50 и -50 будут называться относительными.
Теперь рассмотрим скорость поезда. Пусть у поезда скорость сто километров в час. Но теперь у нас появилось ещё и направление. Т.е. скорость может быть как положительной, так и отрицательной и скорость +100 км/ч означает, что поезд едет в Санкт-Петербург (в точку A), а -100 км/ч означает, что поезд едет в Москву (в точку B). Довольно легко понять, что если поезд находится в точке O и имеет координату 0, то через 3 часа у него будет координата +300 (если он ехал в Питер) или -300 (если ехал в Москву), Т.е. в первом случае будет 3∙(+100)=+300, а во втором 3 ∙(-100)=-300. Это пока объяснимо. Мы получили такой же результат, как в модели с должником.
Но теперь давайте чуть подправим задачу и рассмотрим относительное время. Допустим сейчас полдень и поезд находится в точке О. Пусть он едет из Москвы в Питер и имеет скорость +100. Где он будет через 3 часа, т.е. в 3 часа после полудня (т.е. в 15:00)? В точке +300. А где он был за три часа до полудня (т.е. в 9:00)? В точке -300. Во втором случае время отрицательно относительно полудня и (+100)∙(-3) = -300.
А теперь самое главное - как через эту модель показать перемножение отрицательных чисел. Пусть поезд едет из Санкт-Петербурга в Москву, т.е. имеет отрицательную скорость. Где он был за три часа до полудня? В точке +300. Т.е. скорость (-100) мы умножили на (-3) и получили +300. Т.е. именно такой случай иллюстрирует правило “минус на минус даёт плюс”.
Вы можете сказать, что отрицательное время — это выдумка и никто им не пользуется. Действительно в числовом виде в быту мы их не так часто используем, а вот на уроках истории вы точно про них слышали. Ведь даты “до нашей эры” по сути показывают именно отрицательное время, где точкой отсчёта считается Рождество Христово.
Про эту модель обоснования умножения отрицательных чисел более подробно можно прочесть в учебнике “Алгебра” А.П. Киселёва .