К энергетике реактивного движения.
Часть 1. Дифференциальный анализ.
Скорости и ускорения рассматриваются в стартовой системе координат.
Скорость истечения газа из двигателя даётся в связанной с ракетой системе координат.
Обозначения физические.
t - время движения, с;
Eкр - кинетическая энергия ракеты, Дж;
Eпр - потенциальная энергия ракеты, Дж;
Eкг - кинетическая энергия газа, Дж;
Eпг - потенциальная энергия газа, Дж;
m - масса ракеты, кг;
dm - масса отброшенного из двигателя газа, кг;
q - массовый расход топлива, кг/с;
h - высота ракеты над уровнем старта, м;
v - скорость ракеты в стартовой системе координат, м/с;
Vи - скорость истечения газа из двигателя в связанной системе координат, м/с;
Vг - скорость газа в стартовой системе координат, м/с;
P - сила тяги двигателя, Н;
g - ускорение свободного падения, кг*м/кв.с;
Обозначения математические.
v^2 — квадрат скорости;
dt, dm, dv, dh, dt — дифференциалы первого порядка;
d^2v — дифференциал скорости второго порядка;
Основные зависимости.
расход топлива q = dm/dt;
скорость ракеты v = dh/dt;
тяга двигателя Р = q*Vи;
Постановка задачи.
Ракета движется вертикально, расход топлива и тяга двигателя постоянны, аэродинамическим сопротивлением пренебрегается, ускорение силы тяжести принимается постоянным.
Найти изменение полной механической энергии системы "газ + ракета" за некоторый промежуток времени.
Проверить, выполняется ли в условиях задачи закон сохранения энергии.
Решение.
За бесконечно малый момент времени dt из двигателя ракеты выбрасывается масса газа dm, скорость ракеты возрастает на величину dv, высота ракеты возрастает на величину dh.
Изменение кинетической энергии ракеты составит:
dEкр = Екр2 - Екр1 = 0.5 * m2 * v2^2 - 0.5 * m1 * v1^2 =
= 0.5 * [ (m - dm)(v + dv)^2 - m*v^2 ] =
= 0.5 * [ (m - dm)(v^2 + 2*v*dv + d^2v) - m*v^2] =
= 0.5 * [ m*v^2 + 2*m*v*dv + m*d^2v - dm*v^2 - 2*dm*v*dv - dm*d^2v -
- m*v^2 ];
Приведя подобные члены и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получим:
dEкр = 0.5 * [ 2*m*dv - dm*v^2] =
= m*v*dv - 0.5*dm*v^2.
dEкр = m*v*dv - 0.5*dm*v^2.
Производная кинетической энергии ракеты по времени:
dEкр/dt = m*v*dv/dt - 0.5*dm*v^2/dt =
= m*v*(dv/dt) - 0.5*(dm/dt)*v^2 =
= m*v*a - 0.5*q*v^2,
где a = (dv/dt) - ускорение ракеты, q = (dm/dt) - массовый расход топлива.
Ускорение ракеты есть разность ускорений от силы тяги двигателя и силы тяготения:
a = P/m - g, где P - сила тяги двигателя, g - ускорение свободного падения.
Сила тяги двигателя определяется выражением:
P = q*Vи, где Vи - скорость истечения газа из двигателя.
Ускорение выразится в виде:
a = q*Vи/m - g.
Подставив выражение для ускорения, получим:
dEкр/dt = m*v*a - 0.5*q*v^2 =
= m*v*(q*Vи/m - g) - 0.5*q*v^2 =
= m*v*q*Vи/m - m*v*g - 0.5*q*v^2 =
= q*v*Vи - m*v*g - 0.5*q*v^2.
dEкр/dt = q*v*Vи - m*v*g - 0.5*q*v^2.
Изменение потенциальной энергии ракеты составит:
dEпр = Eпр2 - Eпр1 =
= (m - dm)*g*(h + dh) - m*g*h =
= g*(m*h + m*dh - dm*h - dm*dh - m*h).
Приведя подобные члены и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получим:
dEпр = m*g*dh - dm*g*h.
Производная потенциальной энергии ракеты по времени:
dEпр/dt = m*g*dh/dt - dm*g*h/dt =
= m*g*(dh/dt) - (dm/dt)*g*h.
Так как dh/dt есть скорость ракеты v, а dm/dt есть расход топлива q, то
dEпр/dt = m*g*v - q*g*h.
Кинетическая энергия газа:
dEкг = 0.5*dm*Vг^2 =
= 0.5*dm*(v - Vи)^2 =
= 0.5*dm*(v^2 - 2*v*Vи + Vи^2).
Производная кинетической энергии газа по времени:
dEкг/dt = 0.5*dm*(v^2 - 2*v*Vи + Vи^2) / dt =
= 0.5*(dm/dt)*(v^2 - 2*v*Vи + Vи^2) =
= 0.5*q*(v^2 - 2*v*Vи + Vи^2).
Потенциальная энергия газа:
dEпг = dm*g*h.
Производная потенциальной энергии газа по времени:
dEпг/dt = dm*g*h/dt =
= (dm/dt)*g*h =
= q*g*h.
Производные составляющих полной энергии системы "газ + ракета" даются выражениями:
dEкр/dt = q*v*Vи - m*v*g - 0.5*q*v^2, для кинетической энергии ракеты;
dEпр/dt = m*g*dh - dm*g*h, для потенциальной энергии ракеты;
dEкг/dt = 0.5*q*(v^2 - 2*v*Vи + Vи^2), для кинетической энергии газа;
dEпг/dt = q*g*h, для потенциальной энергии газа.
Сложив производные составляющих частей, получим производную полной механической энергии системы "газ + ракета" по времени:
dE/dt = dEкр/dt + dEпр/dt + dEкг/dt + dEпг/dt =
= q*v*Vи - m*v*g - 0.5*q*v^2 +
+ m*g*dh - dm*g*h +
+ 0.5*q*(v^2 - 2*v*Vи + Vи^2) +
+ q*g*h.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим окончательное выражение для производной полной механической энергии системы "газ + ракета":
dE/dt = (1/2) * q * Vи^2.
Производная полной механической энергии системы "газ + ракета" по времени есть половина произведения расхода топлива на квадрат скорости истечения газа из двигателя.
Взяв интеграл по времени от полученного выражения для производной полной механической энергии системы "газ + ракета", найдём:
E = (1/2) * q * Vи * t = (1/2) * Mт * Vи^2, где Мт - масса израсходованного за время t топлива.
Масса топлива есть исходный запас энергии для реактивного движения ракеты и газа.
Скорость истечения газа из двигателя есть показатель эффективности преобразования химической энергии топлива в кинетическую энергию газа.
Полная механическая энергия системы "газ + ракета" есть половина произведения массы израсходованного топлива на квадрат скорости истечения газа из двигателя.
Полная механическая энергия системы зависит только от двух указанных величин, и ни от чего больше.
Полная механическая энергия системы прямо пропорциональна массе израсходованного топлива.
Закон сохранения энергии при реактивном движении строго выполняется.
