Продолжаем знакомство с теорией множеств на дилетантском уровне - без формул. Предыдущие заметки охватывали "школьную" тематику, теперь перейдем к сюжетам поинтереснее.
Аксиома выбора - то, вокруг чего скрещивались когда-то копья. Из нее вытекают важные следствия. Кстати, разбор ее поможет лучше понять особенности подхода к множествам.
Начнем с формулировки
Аксиома выбора:
В любом множестве (семействе!) непустых множеств А - в каждом множестве А можно выбрать по одному элементу.
Вроде бы непонятно: раз множества непустые, значит, хотя бы один-то элемент в каждом имеется. Получается, что утверждение тривиально?
Но ведь аксиома не об этом! Она утверждает совсем не то, что каждое из непустых множеств А содержит хотя бы один элемент (что действительно тавтология). Она говорит о том, что его можно выбрать.
Опять неясно. Если элемент существует – значит, его можно и выбрать? Показать пальцем...
Но выбрать-то требуется не в одном конкретном множестве, а в каждом (из семейства). Которое бесконечно – по умолчанию. Значит, и выбранные элементы должны составить бесконечное множество.
Вспомните: бесконечное множество нельзя задать непосредственным указанием на его элементы (как мы вознамерились). Его можно задать только обобщенно. Должна быть какая-то функция, каждому множеству семейства ставящая в соответствие «выбранный» элемент. Совокупность последних и образует множество выбранных элементов. Аксиома утверждает, что такая функция выбора всегда существует.
Сформулируем по-другому: обязано существовать некое (пускай неизвестное) свойство, которому удовлетворяет ровно один элемент в каждом из множеств А.
О наивной теории
Вероятно, вы поняли, что утверждение аксиомы выбора совсем не очевидно. Потому вокруг нее и велись когда-то споры. Тем более что она не отвечает ведь на вопрос, откуда взять такую функцию выбора. Она неконструктивна! А иначе, впрочем, была бы бесспорной.
Тогда получается, про множество выбранных элементов ничего сказать нельзя, кроме того, что оно «существует». Нет общего признака, который, по Кантору, должен отличать элементы множества…
Подобные коллизии горячо обсуждались логиками во времена «наивной теории множеств». (Тут никакое не оценочное суждение, а общепринятый термин). Мы не будем углубляться в логические дебри, тем более что страсти давно остыли.
Добавим только, что первичное, канторовское понятие множества как совокупности элементов, обладающих общим свойством, приводит к противоречиям типа «парадокса брадобрея». Который бреет тех, кто не бреется сам, так что неясно, должен ли он брить себя. Здесь само множество подходит под признак своего же элемента.
Теория перестала быть «наивной» с появлением аксиом - ZF (Цермело, Френкель) или ZFC (Цермело, Френкель, choice), исключающих подобное.
Конструктивность в математике
Как сказано, аксиома выбора неконструктивна, как и эквивалентные ей утверждения. Она устанавливает существование, не отвечая на вопрос: где взять или как сделать.
Зачем нужны аксиомы, которые утверждают одно только существование, какая от них польза?
Но польза есть. Откажись математики от аксиомы выбора – придется отказаться от многих уже привычных инструментов анализа. Без нее не удастся строго доказать, например, что счетное множество счетных множеств счетно (счетность не означает упорядоченность, и тогда доказательство из школьной олимпиады буксует).
С другой стороны, некоторые следствия аксиомы весьма парадоксальны. Вдобавок не все согласны считать существующим объект, на который нельзя указать конкретно.
Необязательно знать аксиомы арифметики Пеано, чтобы выполнять арифметические действия. В теории множеств тоже есть своя аксиоматика, мы про нее упоминали. Следует знать, что есть сторонники и других аксиоматических систем – «конструктивистского» направления, не принимающего аксиому выбора.
Решаем задачу
Задача.
Доказать неверность утверждения: если а и b оба иррациональны, то а в степени b всегда иррациональное число.
Предлагаю решение. Пусть а = b = √2 (иррациональные). Возведем якобы иррациональное аᵇ в степень b еще раз, результат по утверждению опять иррационален. Между тем он равен аᵇ͘ ᵇ = а² = 2. Противоречие!
Для чего была эта детская задачка?
Заметьте, мы так и не знаем, является число √2 в степени √2 иррациональным или нет! Таким образом, не дали примера рационального результата при иррациональных а и b. Тем не менее, строго опровергли тезис. Мораль: в математике конструктивность необязательна.
