В этой небольшой статье две части. Первая - ознакомительная, в которой я быстренько напомню, что такое лагранжиан и зачем он нужен. Во второй я сформулирую некую идею.
Для адекватного восприятия этой статьи требуется определенная математическая подготовка. Во всяком случае, необходимо знать, что такое производная, частная производная, интеграл и вариация на уровне 1-2 курса технического ВУЗа. Во второй части статьи также требуется элементарное знакомство с матричной алгеброй. На самом деле, не все так сложно, как кажется. Матрица - это по сути таблица (для программистов привычнее будет слово массив). Производная и интеграл - тоже, в общем-то, вещи понятные (в интернете, наверняка, можно найти немало статей для школьников по этому поводу)
В общем, если вы не испытываете ужаса перед формулами, то идея в целом вам должна стать понятной.
Часть первая. Краткое знакомство с лагранжианом.
Про английского ученого Исаака Ньютона краем уха слышал каждый, кто учился в средней школе. А если в списке ваших увлечений есть физика и математика, то, наверняка, вам знакомо имя Жозефа Луи Лагранжа.
Что же такого замечательного сделал Лагранж, что в его честь назван один из мощнейших инструментов современной физики?
Вспомним второй закон Ньютона (F = ma). Запишем его в виде, в котором его принято записывать у специалистов по теоретической механике:
где в левой части уравнения — компоненты вектора силы (индекс i обозначает одну из пространственных проекций вектора), в правой — изменение компонент вектора импульса за единицу времени (производная импульса по времени). В дальнейшем для обозначения оператора производной по времени будем использовать точку сверху, то есть:
Лагранж догадался ввести некую формальную скалярную функцию L (лагранжиан), такую, что для нее выполняются два условия:
Тогда второй закон Ньютона можно записать в виде:
где вместо двух векторных физических величин, силы и импульса, остается лишь одна, скалярная. Можно показать, что последнее уравнение эквивалентно условию, что вдоль траектории движения материальной точки вариация интеграла лагранжиана, взятого по любому куску траектории движения материальной точки равна нулю:
и значит сам интеграл экстремален (при условии устойчивости — минимален) на реальной траектории движения из всех возможных. Интеграл S называется действием. То есть движение материальной точки происходит согласно принципу наименьшего действия.
Из определения лагранжиана материальной точки следует, что в общем случае он является функцией 7 переменных (три пространственных координаты, три компоненты вектора скорости и время).
Самое замечательное, что с помощью лагранжиана можно в принципе описывать динамику не только одной материальной точки, но и целой системы, состоящей из сколь угодно большого n количества материальных точек. В этом случае базис лагранжиана будет иметь размерность 6n+1 .
Итак, любая сколь угодно сложная динамическая система в принципе может быть определена с помощью одного единственного скаляра — лагранжиана.
Физики говорят примерно так: "если я нашел лагранжиан системы, значит я знаю динамику системы". Похоже на слова древнего философа: "Дайте мне рычаг, и я переверну Землю".
Но если отказаться от понятия материальной точки и природу понимать как неразрывную среду, обладающую неоднородностями, которые могут быть истолкованы как материальные частицы, то нет ничего естественнее чем универсальный протяженный лагранжиан для описания природы. Лагранжиан — неразрывная поверхность, отображающая неразрывную материальную среду. Если бы удалось найти такой лагранжиан, то можно было бы сказать: мы построили единую теорию поля. Пока об этом можно только мечтать, но направление поиска, похоже, должен указать лагранжиан.
Часть вторая. Матрица.
Продолжение следует...
