Вы когда-нибудь были на детской площадке, играя в игру, называя самое большое число, которое вы можете придумать? Как быстро кто-то говорит «бесконечность»? Затем следующий человек говорит «бесконечность плюс один», и кажется, что игра никогда не закончится. Но действительно ли бесконечность плюс один больше бесконечности? Можем ли мы заниматься математикой с бесконечностью?
Георг Кантор (1845–1918) был одним из первых математиков, изучавших бесконечность. Он придумал различные примеры появления бесконечности в математике. Он также обнаружил, что существуют разные типы бесконечности. Это заставило других математиков отвергнуть его работу как некорректную и запутанную. Именно Дэвид Гильберт сделал бесконечность понятной в 1924 году. Его объяснение было историей об отеле, в котором, даже когда он был заполнен, было место для большего количества гостей. Эта статья пытается объяснить бесконечность аналогичным образом.
Бесконечность — штука странная и сбивающая с толку математиков. Чтобы помочь нам понять странное поведение бесконечности, математики вернулись к основам и попытались определить, что значит считать.
Представьте, что у вас есть сумка, полная сладостей. Вы не видите содержимое сумки, но хотите знать, сколько у вас сладостей. Лучший способ сделать это — достать из пакета первую конфету и сказать «один». Затем вы достаете вторую конфету и говорите «два». Вы бы продолжали делать это, пока сумка не опустеет. Последнее число, которое вы скажете, — это сколько сладостей у вас в сумке. Так мы учимся считать, независимо от того, какие предметы у вас в сумке.
Мощность множества, кардинальное число множества — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.
Мощность предметов в сумке — количество предметов в сумке. Например, мешок с тремя конфетами имеет мощность три. Сумка с одной конфеткой, одним роботом и карандашом также имеет мощность три. Неважно, что это за предметы, имеет значение только количество. В сумке могут быть более абстрактные объекты, например сумка с номерами 1, 2 и 3.
В двух сумках с одинаковой мощностью находится одинаковое количество предметов. Мы можем объединить объекты в обе сумки, и ни в одной из них ничего не останется. Это дает нам еще один способ подсчета объектов. Если нам известна мощность одного мешка, но неизвестна мощность другого, мы можем проверить, можем ли мы объединить объекты в пары в обоих мешках.
Например, у вас есть пакет конфет, но вы не знаете, сколько конфет в нем. На этот раз у вас тоже восемь друзей. Если вы можете дать каждому из восьми друзей ровно по одной сладости, не оставив сладостей, то мощность пакета со сладостями будет равна восьми. Если хотя бы один друг не получит конфету, то мощность мешка меньше восьми. Если хотя бы одна конфета осталась, то мощность пакета больше 8.
Счетное множество
Представьте себе сумку, содержащую все «Натуральные числа», мешок, содержащий все положительные числа, 1, 2, 3, 4 и так далее.
Мы используем символ ℕ для обозначения этого мешка . Какова мощность? Очевидно, что у него нет мощности 4, так как ℕ содержит как минимум пять объектов, а именно числа 1, 2, 3, 4 и 5. Та же логика работает для любого числа. Выберите любое число, скажем n , тогда мешок ℕ будет содержать не менее n + 1 объектов, а именно числа 1, 2, 3,…, n и n + 1. Это показывает, что мощность ℕ не является числом, и мы говорим, что ℕ счетно бесконечно.
Сумка, содержащая бесконечно много предметов, но мы все еще можем их подсчитать. Другими словами, мешок той же мощности, что и ℕ.
Мешок объектов счетно бесконечен, если он имеет ту же мощность, что и ℕ. Другими словами:
- В сумке бесконечно много предметов, поэтому мы всегда можем что-то из нее вытащить.
- Мы можем связать каждый объект в сумке с уникальным положительным целым числом (другими словами, мы можем подсчитать объекты).
Пример 1: четные числа
Представьте себе две сумки. Одна со всеми положительными числами называется ℕ, а другая со всеми положительными четными числами, который называется 2ℕ. Казалось бы, положительных чисел больше, чем положительных четных. Но мы покажем, что вы можете связать каждое четное число ровно с одним числом таким образом, чтобы не было остатков. Выходит, что и 2ℕ имеют одинаковую мощность.
Прежде чем мы это сделаем, нам нужен способ отличить числа, которые мы берем из сумки ℕ, и четные числа, которые мы берем из сумки 2ℕ. Мы добавляем «-е» в конец любого числа из пакета ℕ. Примеры:
- 6-е — число N, а 6 - четное число от 2ℕ.
- 7-е — это число от ℕ, а поскольку 7 не четное, его нет в нашей сумке 2ℕ.
Чтобы объединить числа из ℕ и 2ℕ в пару, нужно сказать: n- е число соединяется с четным числом 2 n . Примеры:
- Четвертое число сочетается с четным числом 8.
- Пятое число ставится в пару с четным числом 10.
- 57-е число связано с четным числом 114.
Мы видим, что каждое число из ℕ попадает в пару с четным числом. Также видим, что каждое четное число объединяется с числом, так как четное число n объединяется с ( n ÷ 2) -м числом. Это означает, что мы соединили каждое число в ℕ с числом в 2ℕ, и никаких остатков нет ( рис. 1 ). Следовательно, и 2ℕ имеют одинаковую мощность. Мешок с четными числами счетно бесконечен. Это означает, что положительных чисел столько же, сколько положительных четных.
ДОБАВЛЕНИЕ ЕДИНИЦЫ К БЕСКОНЕЧНОСТИ
Пример 2: Представьте себе две сумки, каждая из которых содержит все положительные числа. Обе сумки в настоящее время содержат одинаковое количество объектов (они оба счетно бесконечны). Теперь добавьте один предмет, букву A, во вторую сумку. Во второй сумке больше предметов, чем в первой? Нет, на самом деле у них одинаковое количество предметов.
Как и раньше, мы называем первый мешок ℕ и добавляем «-е» в конец любого числа в этом мешке. Второй пакет, содержащий A, 1, 2, 3 и т. Д., Будет называться ℕ 0 . Мы объединяем каждый объект в с одним объектом в ℕ 0, используя два правила:
- 1-е число ставится в пару с буквой A из ℕ 0 .
- Когда n не равно единице, n- е число соединяется с числом n - 1 из ℕ 0 .
Примеры
- 1-е число ставится в пару с буквой А.
- 5-е число связано с числом 4.
- 30-е число связано с числом 29.
Таким образом, каждый объект в связан с одним объектом в ℕ 0 . Следовательно, обе сумки имеют одинаковую мощность, а значит одинаковое количество объектов.
Эта логика работает для любого количества вещей, которые мы добавляем в корзину ℕ. Итак, сколько бы конечных вещей мы ни добавили к ℕ, мешок по-прежнему счетно бесконечен и содержит такое же количество объектов.
ДОБАВЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОСТИ К БЕСКОНЕЧНОСТИ
Пример 3 : Мы видели, что мешок, содержащий все положительные числа, счетно бесконечен. По той же логике мешок, содержащий все отрицательные числа, также счетно бесконечен. Что, если мы поместим в один пакет все положительные числа, все отрицательные числа и 0? Эта сумка больше, чем сумка ℕ?
Мы будем использовать символ Z, означает мешок, содержащий все числа (положительные, отрицательные и ноль) . Чтобы соединить числа в ℕ с числами Z, нам нужно использовать более сложные правила.
- Если n нечетное, то n- е число ставится в пару с числом ( n - 1) ÷ 2 в ℤ.
- Если n четно, то n- е число ставится в пару с числом– ( n ÷ 2) в ℤ.
Примеры:
- 4 четное и 4 ÷ 2 = 2. Итак, 4-е число ставится в пару с числом –2.
- 5 нечетно, поэтому мы делаем 5 - 1 = 4 и 4 ÷ 2 = 2. Итак, 5-е число объединяется с числом 2.
- 24-е число ставится в пару с числом –12.
- 57-е число ставится в пару с числом 28.
Опять же, мы соединили каждый объект в с объектом в ℤ ( рисунок 2 ). Это означает, что они имеют одинаковую мощность. Следовательно, счетно бесконечно. Чисел (положительных и отрицательных) столько же, сколько положительных.
ВЫЧИТАНИЕ ИЗ БЕСКОНЕЧНОСТИ
Мы определили, что добавление одного или бесконечного числа объектов в сумку, которая является счетно бесконечной, не увеличивает ее (см. Пример 3). Но что произойдет, если мы начнем удалять объекты из счетно бесконечного мешка?
Пример 4 : Представьте себе мешок, содержащий все положительные числа, и удалите из него цифру 1. Назовем эту сумку ℕ1 . Покажем, что мешок ℕ 1 счетно бесконечен, соединив каждый элемент из ℕ1 с элементом из ℕ. Как и раньше, мы будем добавлять «-е» в конец любого числа, идущего от ℕ.
Примеры
- 1-е число ставится в пару с номером 2.
- 5-е число связано с числом 6.
- 30-е число связано с числом 31.
Каждый объект N связан с одним объектом в ℕ 1 . Следовательно, обе сумки имеют одинаковую мощность, а значит, одинаковое количество объектов.
Эта логика работает для любого количества вещей, которые мы извлекаем из сумки ℕ. Независимо от того, сколько конечных вещей мы извлекаем из ℕ, мешок все равно счетно бесконечен и по-прежнему содержит такое же количество предметов.
А что если мы удалим счетное бесконечное количество объектов? Тогда ответ зависит от того, что мы удаляем.
Пример 5 : Мы знаем, что положительные четные числа счетно бесконечны (см. Пример 1). Представьте себе мешок, содержащий все положительные числа, и выньте из него все четные положительные числа. В сумке остались только положительные нечетные числа. Точно так же, как четные числа являются счетно бесконечными, нечетные числа также счетно бесконечны (чтобы увидеть это, мы объединяем n- е число в пару с нечетным числом 2 n - 1, см. Рисунок 3 ).
В этом случае, начиная со счетно бесконечного мешка и удаляя из него счетное бесконечное количество объектов, мы все равно остаемся со счетным бесконечным числом объектов, или, другими словами, счетным бесконечным мешком.
Пример 6 : Представьте себе сумку со всеми положительными числами, например сумку ℕ. Представьте, что мы удалили все числа больше 1. Из ℕ мы удалили мешок N1 (см. Пример 4). У нас остается сумка с номером 1. Сумка, содержащая только номер 1, имеет мощность 1.
В этом случае, начиная со счетно бесконечного мешка и удаляя из него счетное бесконечное количество объектов, мы остаемся с единственным объектом.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой статье показаны некоторые из странных проявлений бесконечности. Приведенные выше примеры показывают, что мы не можем работать с бесконечностью, как с числом. Когда мы выполняем сложение и вычитание, бесконечность ведет себя иначе, чем числа.
Хотя эта странность сначала сбивала с толку математиков, вернувшись к основам, им удалось понять бесконечность. Это повторялось на протяжении всей истории, что понятия, которые когда-то были загадочными, были наконец поняты, если тщательно подойти к определению.
Родители и педагоги, если вам понравилась статья, сохраняйте и делитесь ею с друзьями, оставляйте комментарии со своим мнением и конечно же ставьте «пальцы вверх», чтобы поддержать наш канал!
Наши математические кружки https://imatclass.com/listok/
Наши задачники https://imatclass.com/magazin
Зимние и летние каникулярные программы https://imatclass.com/programma
Получить 10 полезных материалов для развития математических способностей ребенка в телеграм
🔔 Подпишитесь — расскажем, как превратить «не хочу» в «дай задачу посложнее».
Вам может быть интересна статья: