Задачи на проценты — один из самых коварных разделов школьной математики
Моя практика работы с учениками показывает, что очень много людей допускают ошибки, если задача становится чуточку запутанной. И для того, чтобы определить, понимает ли человек проценты хотя бы немного, я задаю следующую тестовую задачку:
Вы хотите купить себе телефон за 15 000 руб. Вы находитесь далеко от средств современной техники и не можете отследить стоимость девайса в магазине, к примеру, через сайт. К вам поступает информация, что сначала телефон подорожал на 50% процентов, а через пару дней магазин сделал скидку 50%. Какова будет конечная стоимость телефона?
Как бы вы ответили на данный вопрос? Подумайте немного...
А как думаете, что отвечает большинство людей? :) Я вам скажу:
« Нуу... +50... потом -50.. получаем 0. Значится, цена не поменяется. »
И вот тут рождается подвох. Ошибка использования процентов в том, что их нельзя просто так складывать друг с другом. Особенно, когда проценты уже "подействовали" на текущую стоимость товара. Безопаснее всего переводить проценты в коэффициенты, на которые можно умножать текущую стоимость товара. И чтобы обезопасить себя от ошибок, лучше посчитать всё последовательно.
Давайте это и сделаем.
Решение:
Как видите, после всех махинаций магазина, цена не вернулась на прежний уровень, а стала ниже, чем была.
Прежде всего проценты — это относительная величина. То есть её нужно сопоставлять с конечной абсолютной величиной ( массой ящика, количеством учащихся в классе, зарплатной ставке, банковскому вкладу и т.п. ).
Процент ( per centum «на сотню; сотая») — сотая часть; обозначается знаком « % »; используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Например, 17 % от 500 кг означает 17 частей по 5 кг каждая, то есть 85 кг. А чтобы найти 17 % от этой массы, мы можем рассуждать так. Допустим, 500 кг соответствуют 100 %. Тогда найдем сколько килограмм приходится на 1 %. Сделать это можно делением массы на сотню, то есть на один процент приходится 500 кг / 100 % = 5 [кг/%]. Тогда чтобы узнать сколько в килограммах будут представлять 17 %, нужно умножить на 17 количество кг, приходящееся на 1 %. То есть 17% * 5 [кг/%] = 85 [кг]. Обратите внимание, что здесь сокращается размерность процентов.
Если вы думаете, что этим заканчиваются все сложности процентов, то это не так :) Существуют еще более запутанные экономические задачи из профильного ЕГЭ по математике. Давайте я приведу здесь парочку примеров.
Банковские экономические задачи из профильного ЕГЭ по математике
В прошлом (2020 году) появились задачки, которые совмещают несколько схем возможных выплат. Условия задач написаны ниже. Подробное решение и теория, с помощью которой можно быстро решать эти задачи, рассмотрены в прикрепленном pdf-файле (в конце статьи).
Пример задания 1:
Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
Пример задания 2:
Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.
По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).
По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?
Предлагаю вам взять карандаш, черновик и на досуге попробовать решить самостоятельно эти две задачи. Если не получится, то я подготовил для вас решение.
Странное дело, но в ЕГЭ по математике задач для экономистов больше, чем задач для физиков, программистов, строителей и т.д. В экономических задачах легко запутаться. Поэтому для начала немного разберемся с определениями.
Аннуитетный платеж — вариант ежемесячного платежа по кредиту, когда размер ежемесячного платежа остаётся постоянным на всём периоде кредитования.
Дифференцированный платеж - это платеж, при котором не меняется сумма на протяжении погашения. При данном типе банк с самого начала берет всю сумму кредита, срок кредитования (количество лет и месяцев), а затем всю сумму делит ровно на количество месяцев. Таким образом, на протяжении всего срока кредитования в месяц выплаты по погашению основного долга не меняются. Интересным моментом и, пожалуй, самым важным, здесь является то, что раз постепенно уменьшается размер основного долга, то и величина выплачиваемых процентов тоже уменьшается. Т.е. если в первый месяц условно 10% годовых начисляется на 1 000 000 руб., то во второй месяц уже на 900 000 руб. и т.д. Следовательно, величина ежемесячного платежа по кредиту постоянно меняется.
Теперь о задаче. Нужно аккуратно расписать каждую схему по каждому месяцу.
Особенности схем:
1 схема:
1) платежи каждый месяц одинаковые
2) долг уменьшается нелинейно
3) сумма долго с каждого нового месяца увеличивается в k раз, что соответствует увеличению на p% долга относительно предыдущего месяца. Затем клиент оплачивает одну и ту же сумму x.
4) в конце третьего месяца долг выплачен и равен нулю.
2 схема:
1) платежи каждый месяц разные
2) долг уменьшается линейно
3) сумма долго с каждого нового месяца увеличивается в k раз, что соответствует увеличению на p% долга относительно предыдущего месяца. Затем клиент оплачивает такую сумму y_i, чтобы разницы долга между любыми двумя соседними месяцами были одинаковыми. Простыми словами - чтобы долг уменьшался каждый месяц на одну и ту же величину.
4) в конце третьего месяца долг выплачен и равен нулю.
С учетом всех этих особенностей можно просчитать обе схемы и определить какая более выгодна. Посмотрите на рисунки ниже
Еще много полезного и интересного вы сможете найти на ресурсах:
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK // Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в Яндекс.Дзен // Репетитор IT mentor в telegram
