Рассуждая на тему пространства, я часто задаюсь вопросом, как представить пространство в 4-х измерениях, будучи объектом трехмерного. Кроме как математических формул, которые абстрактно описывают четырехмерие и их проекции на трехмерное пространство, у меня других представлений не имеется.
Сейчас попытаюсь доказать, почему нельзя строить четырехмерное пространство на основе наших 3-х мерных представлений. Математики поступают таким образом. Они показывают пример одномерного пространства, и далее с каждым шагом увеличивают мерность. Это происходит таким образом.
Что нужно для одномерного пространства? Правильно, одно измерение, пусть это будет ось Х.
Что нужно для двумерного пространства? Правильно, еще одно измерение, пусть это будет ось Y, которая перпендикулярно Х.
Ну вы догадались, что для трехмерного нужна ось Z, которая будет перпендикулярна двум другим осям. Вроде все просто.
Ну а что нужно, чтобы построить четырехмерное пространство? Следуя логике, необходима четвертая ось, которая будет перпендикулярна трем остальным Х,Y и Z.
Что бы доказать, что нельзя продолжать создавать четырехмерное пространство таким образом, давайте проведем такой мысленный эксперимент.
Задача будет простой. Необходимо в каждом пространстве равномерно распределить точки и проследить одинаково ли это происходит.
Для одномерного пространства это будет набор точек, удаленных друг от друга на равное расстояние. При этом, количество равноудаленных соседей у каждой точки будет равно 2:
Для двумерного пространства, распределение будет выглядеть как треугольная сетка. Количество ближайших соседей у каждой точки будет равно 6:
Ну а для трехмерного пространства эта задача нетривиальная. Если начать заполнение трехмерного объема точками, равноудаленными от соседних, то при построении мы столкнемся с проблемой нестыковки: объемная геометрия не позволит нам выполнить условия равномерного распределения. При желании можно проверить это на шариках, одинакового размера. Диаметр шарика будет удовлетворять свойствам равноудаленности центров шариков друг от друга. При размещении шариков вокруг одного, их количество может доходить до 12, при этом останется немного свободного места, но тринадцатый шарик не поместится на поверхности центрального, из чего следует, что равномерно распределить точки в объеме никак не получится.
Таким образом, если в одномерном и двумерном пространстве возможны равномерные распределения, а в трехмерном невозможны, то мы не имеет права "по инерции" экстраполировать построение четвертого измерения, поскольку неизвестно, какие несоответствия вообще могут возникнуть, если действовать по аналогии.
Исходя из этого, делаю вывод, что представлять четвертое и последующие измерения, основываясь на принципах построения пространств меньших мерностей нельзя.
Спасибо за внимание!
Михаил Н. Бровкин bmiha@mail.ru 18 сентября 2019 г.
