В 5–6-м классе мы обычно ничего не доказываем на уроках, а если и доказываем, то обычно не спрашиваем. Например, доказываем признак делимости на 9, но не спрашиваем доказательство у школьников.
В 7-м классе мы же начинаем требовать строгие доказательства, например, геометрические. Было бы неплохо научиться доказательству уже в 5–6-м классе.
Из доски 4 × 4 вырезали угловую клетку. Разрежьте полученную фигуру на доминошки 1 × 2.
Это, очевидно, нельзя сделать, потому что осталось нечетное число клеток. Каждая доминошка — это две клетки, поэтому разрезать можно только доску из четного числа клеток.
Из квадрата 4 × 4 вырезали левую нижнюю и левую верхнюю угловые клетки. Можно ли получившуюся фигуру разрезать на прямоугольники 1 × 2?
Нарисуйте и поймите, что это не задача, а легкая прогулка. Постройте сами пример.
Из квадрата 4 × 4 вырезали левую нижнюю и правую верхнюю угловые клетки. Можно ли получившуюся фигуру разрезать на прямоугольники 1 × 2?
Раскрасим фигуру в шахматном порядке. Черных клеток получится 6, а белых — 8. В то же время, каждая доминошка требует одну белую и одну черную клетки. Значит, если бы можно было разрезать, то черных и белых клеток было бы поровну.
Мы нашли новый способ доказать, что разрезать невозможно. Не будем на этом останавливаться.
Дима нарисовал фигуру из 8 клеток и раскрасил ее в шахматном порядке. Получилось, что белых и черных клеток поровну. Верно ли, что фигуру можно разрезать на прямоугольники 1 × 2?
Мы только что с помощью раскраски доказали, что что-то нельзя. Теперь наоборот. Правда ли, что если черных и белых клеток поровну, что обязательно разрежется. Или можно такую загогулину нарисовать, что не разрежется?
Возьмем такую фигуру:
То есть если черных и белых разное количество, то разрезать точно нельзя. А вот если их поровну, то это ничего не значит. Но и на этом мы не остановимся.
Саша нарисовала фигуру, которую нельзя разрезать на прямоугольники 1 × 2. Маша пририсовала к ней один прямоугольник 1 × 2. Могло ли так получиться, что новую фигуру можно разрезать на прямоугольники 1 × 2?
Ответ неожиданный. Что-то нельзя было разрезать, мы одну доминошку добавили. Теперь мы ее разрежем, и всё получится.
Теперь можно разрезать. Разрежьте сами.
Источник
Читайте меня также в Телеграме:
Канал о том, как я учу математике своих сыновей
Да и здесь, в Дзене, подписывайтесь.
