Это число приблизительно равно 2,71828. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». На самом деле число Эйлера или число e не ограничивается этими пятью знаками после запятой.
Число Эйлера можно записать так: 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354 …
Однако и этим число Эйлера не будет ограничено.
Таким образом данное число представимо в виде бесконечной дроби, рекурсивной функции, ряда и предела.
Давайте уже разберем что же это за число.
Когда мы берем за основание число 1+1/n, близкое к единице, например 1,00001, то для небольших чисел получаются огромные логарифмы, например число 3 имеет логарифм 109861. Чтобы этот логарифм был величиной того же порядка, что и число 3, его следует уменьшить в 100000 раз. Тогда он имел бы величину 1,09861. Число 3 будет иметь логарифм 1,09861, если за основание взять не 1+1/n равное 1,00001, а (1+1/n)^n равное 1,00001^100000. Если мы найдем величину 1,00001^100000, то с точностью до восьмого знака найдем (1+1/n)^n при n равное 100000, будет равно 2,71826763. Обратите внимание это число очень близко к числу e.
Таким образом чем больше взять число n, тем меньше число формулы (1+1/n)^n будет отличаться от числа e. Иначе говоря, число e есть предел, к которому стремится (1+1/n)^n, при неограниченном возрастании числа n.
Логарифмы взятые по основанию e, называются натуральными логарифмами. Часто их называют неперовыми…
Число впервые появилось в математике как нечто незначительное. Это случилось в 1618 г. В приложении к работе Непера по логарифмам была дана таблица натуральных логарифмов различных чисел. Однако никто не понял, что это логарифмы по основанию , так как в понятие логарифма того времени такая вещь как основание не входила. Это сейчас мы называем логарифмом степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить требуемое число. Мы еще вернемся к этому позже. Таблица в приложении скорее всего была сделана Отредом, хотя автор ее не был указан. Через несколько лет, в 1624 г., в математической литературе снова появляется , но опять-таки завуалированно. В этом году Бриггс дал численное приближение десятичного логарифма , но само число в его работе не упоминается.
Кажется смешным утверждение, что он использовал букву из-за того, что это первая буква его имени. Вероятно, это даже не потому, что взято от слова “exponential”, а просто это следующая гласная за “a”, а Эйлер уже использовал обозначение “a” в своей работе. Независимо от причины, обозначение впервые появляется в письме Эйлера Гольдбаху в 1731 г. Он сделал много открытий, изучая в дальнейшем, но только в 1748 г. в Introductio in Analysin infinitorum он дал полное обоснование всем идеям, связанным с e.
Число е - один из важных кирпичиков в фундаменте денежной экономики ссудного процента в обществе потребления, под которую с самого начала, даже на мыслительном философском уровне, подгонялась и затачивалась несколько столетий назад вся используемая сегодня математика.
Пример.
В одном банке вам обещают, что возьмут ваши деньги на год, а отдадут со 100%-ой прибылью.
В соседнем же банке говорят: за полгода прибыль 50%.
Куда выгоднее сдать деньги?
Понятно, что выгоднее сдать деньги во второй фонд. Потому что за вторые полгода вы и на прибыль можете накрутить прибыль.
В третьем банке вам говорят: сдай деньги на треть года и получишь прибыль треть от исходной суммы.
В четвертом говорят: дай деньги на четверть года -- и получишь прибыль четверть от исходной суммы.
Какой из банков выгоднее?
Понятно, четвертый самый выгодный.
А теперь возникает гипотеза. Если сдавать деньги в банк на 1/n года, в результате чего получишь прибыль 1/n от исходной суммы; то чем больше n, тем выгоднее вся операция.
Ну, и тут же возникает вопрос: До каких пор можно увеличить свою прибыль при росте n? Неужели неограниченно?
Давайте посчитаем вашу прибыль за год в случае n. За один отрезок времени (за 1/n года) ваша сумма умножается на (1+1/n). А таких отрезков в году всего n. Поэтому в итоге вы получите (1+1/n)^n -- коэффициент к исходной сумме.
А мы все знаем, что чем больше n, тем ближе эта сумма к числу Эйлера. Поэтому, например, утроить вашу сумму таким способом не получится. А вот увеличить в 2,7 раза можно.
Правда, тогда надо найти банк, где один период это всего 4 дня…
Удивительно, но число е настолько многогранно, что к нему можно прийти, рассматривая самые разные математические задачи. Число е играет огромную роль в математике и прикладных науках. В банковском деле(пример выше) оно позволяет определять прирост денег при непрерывном начислении процентов.
