Методика расчета эллиптической (круговой) траектории движения тел в поле тяготения гравитирующего объекта на основе трех сил:
притяжения, центробежной и инерции-тигунции
Степан Тигунцев
Россия, Иркутск
Аннотация
Показаны все силы и ускорения, действующие на тела, движущиеся по круговым или эллиптическим траекториям в гравитационном поле гравитирующего объекта, предложены методика и алгоритм расчета траектории при учете гравитационной силы притяжения, центробежной силы и силы инерции-тигунции.
Оосновной и единственной причиной существования равномерного движения по «горизонтальной» поверхности (по круговой орбите) являются силы притяжения, носящие радиальный характер. Так как в любой точке Земного шара имеются силы притяжения, вектора которых отличаются по углу друг от друга в любых точках поверхности, то везде выполняется условие такого движения, независимо от направления на местности.
Теперь, вспомним формулировку движения по инерции как равномерного прямолинейного движения тел, происходящего без внешних воздействий. Ранее мы убедились, что равномерное движение тел происходит в результате только внешних воздействий, однако это движение криволинейное, а это значит, что понятие инерции в существующем понимании не применимо.
Это значит, что при прямолинейном движении нигде во Вселенной не будет равномерного движения тел, происходящего без внешних воздействий, так как все воздействия на тела во Вселенной имеют радиальный характер, т.е. по законам сферы (все космические объекты, обладающие гравитацией, имеют вектора сил притяжения, строго перпендикулярные своей поверхности, имеются ввиду сферические объекты с равномерным распределением массы).
Это значит, что инерциальные системы отсчета, в которых свободное тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, без внешних воздействий таковыми не являются. Необходимо вводить другое понятие, исходя из того, что свободных тел в принципе не существует, исходя из того, что тело может двигаться равномерно только криволинейно, при этом только под воздействием сил притяжения другого более массивного тела.
Это значит, что закон инерции в прежнем понимании перестает быть тем фундаментом, на котором покоится все учение о движении тел.
Это значит, что инерциальными могут быть только системы, в которых присутствует гравитационное воздействие, а так как в реальной физической действительности во Вселенной нет места, где бы отсутствовали силы тяготения, то НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ (в новом понимании) систем в принципе быть не может.
Теперь снова посмотрим формулировку закона инерции: «Всякое тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока неуравновешенные внешние силы не заставят его изменить это состояние». Формулировка требует существенной корректировки, в результате которой закон инерции - «тигунции» может иметь следующий вид: «Всякое тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного и криволинейного движения вокруг центра гравитирующего объекта, пока другие тела своим воздействием не изменят это состояние».
Исходя из нового понимания инерции (тигунции) рассмотрим механизм действия всех возможных сил на космический объект при его движении по эллиптической и как частный случай по круговой траекториям вокруг гравитирующего объекта.
При движении космического объекта (КО) по круговой или эллиптической траектории вокруг гравитирующего объекта (ГО) на КО в любой момент времени действуют три силы:
1. Сила притяжения: F=g*m, в радиальном направлении к центру ГО.
2. Центробежная сила: Fcb=m*V^2/R в радиальном направлении от центра ГО.
3. Сила тигунции Ftg=m*(g2–g1) в направлении движения КО (по хорде между двумя точками круговой для текущего радиуса траектории).
При этом движение КО по строго круговой траектории обеспечивается только силой тигунции, так как сила притяжения в любой момент времени полностью скомпенсирована центробежной силой.
При движении КО по эллиптической траектории происходит постоянное взаимосвязанное изменение указанных сил и ускорений, обусловленных этими силами (далее будем рассматривать только ускорения).
Рассмотрим векторную диаграмму сил, показанную на Рис.2.
В точке 2 траектории:
вектор Acb – ЦБ ускорение,
вектор g – ускорение свободного падения,
вектор g-Acb – разность векторов ускорений свободного падения и ЦБ ускорения,
вектор dg – ускорение тигунции,
вектор Vn – вектор радиальной составляющей орбитальной скорости V,
вектор Vt – вектор ортогональной составляющей скорости V.
Далее рассмотрим, как указанные ускорения участвуют в создании орбитальной скорости V. Скорость Vn является интегральной характеристикой суммарного ускорения (g-Acb), при этом g=G*M/R2, а Acb определяется величиной скорости Vt по выражению Acb = Vt2/R. Скорость Vt прямо пропорциональна величине ускорения тигунции dg (определяется по выражению (2)). Вектор скорости Vt направлен перпендикулярно радиусу на ГО и определяется текущим расстоянием от центра ГО. Для определения скорости Vt на любом участке траектории используется соотношение Vt*R=Const, которое несколько отличается от соотношения из второго закона Кеплера «Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает сектора равной площади».
На Рис. 2 показано, что вектор разницы ускорений (g-Acb) на участках траектории расположенных левее вертикальной оси, проходящей через центр ГО, направлен к ГО, а на участках траектории расположенных правее вертикальной оси, направлен от ГО.
Характер изменения величин ускорений по ходу траектории показан на Рис. 5. Здесь начало координат соответствует точке 1 на рис 2. Первая точка пересечения кривой (g-Acb) и горизонтальной оси соответствует точке 3, вторая точка пересечения – точке 7. На участке 3-4-5-6-7 величина центробежного ускорения больше величины ускорения силы притяжения. Соответственно на участке 7-8-1-2-3 величина центробежного ускорения меньше величины ускорения силы притяжения.
Для лучшего понимания предлагаемого решения и возможности отследить характер изменения всех параметров движения рассмотрим алгоритм расчета эллиптической (и как частный случай круговой) траектории и результаты расчета на отвлеченном примере в декартовых координатах. В ходе расчета необходимо найти координаты каждой точки траектории движения КО как результат движения со скоростью, определенной по описанным выше ускорениям.
Начальные условия: ГО, имеющий параметры G*М =1000 находится в точке с координатами Х0=300 ед. У0=250 ед.
КО находится в точке 1 с координатами Х1=20 ед, У1=250 ед. и движется со скоростью V1=1.5 ед/сек под углом 90 град к радиусу ГО.
Решение: 1. Находим расстояние R1 от ГО до КО: .
R1=Корень((X0-X1)^2+(Y0-Y1)^2
2. Находим Sin(f)=(X0-X1)/R1 и Cos(f)=(Y0-Y1)/R1 угла и угол f=Arctg(Sin(f)/Cos(f)) между радиусом на ГО и вертикальной осью, проходящей через центр ГО.
3. Находим величину ускорения силы притяжения g1=G*M/R12 .
4. Так как КО движется перпендикулярно радиусу, то считаем, что Vt1=V1.
5. Находим величину ускорения ЦБ-силы: Acb1=десь используем Vt1=1.5 из начальных условий),
6. Находим приращение величины скорости Vn на 1-ом участке за время dt=1 сек:
dVn1=(g1-Acb1)*dt и величину скорости Vn1=Vn0+dVn1 ( из начальных условий Vn0=0).
7. Находим проекции скорости Vn1 на оси Х и У: Vn1x=Vn1*Sin(f1), Vn1y=Vn1*Cos(f1).
8. Находим величину константы К=Vt1*R1.
9. Находим угол , на который отличается реальное (по хорде) направление тангенциальной скорости Vt1 от ортогонального a=Vt1/(2*R1).
10. Находим угол направления скорости Vt1’ по хорде окружности с радиусом R1: f1'=f1-a.
11. Находим проекции скорости Vt1’ на оси Х и У: V’tx1=Vt1*Cos(f1'), V’ty1=Vt1’*Sin(f1').
12. Находим суммы проекций скоростей Vn1 и Vt1’ на оси X иY: Vx1=Vnx1+V’tx1, Vy1=Vny1+V’ty1 и величину орбитальной скорости
V1=Корень(Vx1^2+Vy1^2)
13. Находим новые координаты для 2-ой и каждой последующей i-ой точки нахождения КО на траектории: Xi=X(i-1)+Vx(i-1)*dt, Yi=Y(i-1)+Vy(i-1)*dt
14. Находим расстояние
R1=Корень((X0-X1)^2+(Y0-Y1)^2
15. Находим Sin(fi)=(X0-Xi)/Ri и Cos(fi)=(Y0-Yi)/Ri
16. Находим величину ускорения силы притяжения gi=G*M/Ri2.
17. Находим величину скорости Vti=K/Ri
18. Находим величину ускорения ЦБ-силы: Acbi = Vti^2/Ri.
19. Находим приращение величины скорости Vn на i-ом участке за время dt=1 сек:
dVni=(gi-Acbi)*dt и величину скорости Vni=Vn(i-1)+dVni .
20. Находим проекции скорости Vni на оси Х и У: Vnxi=Vni*Sin(fi), Vnyi=Vni*Cos(fi).
\21. Находим угол , на который отличается реальное (по хорде) направление тангенциальной скорости Vti от ортогонального ai=Vti(2*Ri).
21. Находим угол направления скорости Vti’ по хорде окружности с радиусом Ri: fi'=fi-ai.
22. Находим проекции скорости V’ti на оси Х и У: V’txi=Vti*Cos(fi'), V’ty1=Vt1’*Sin(fi').
23. Находим суммы проекций скоростей Vni и Vti’ на оси X иY: Vxi=Vnxi+V’txi, Vyi=Vnyi+V’tyi и величину орбитальной скорости . V1=Корень(Vx1^2+Vy1^2)
24. Переходим по циклу на п.13.
В соответствие с предложенным алгоритмом проведен расчет для эллиптической траектории при начальном условии скорости (V1=1.5 ед/сек) и круговой траектории (V1=1,889822 ед/сек). Расчет выполнен с помощью MS Excel. Расчет для другой начальной величины скорости производится только изменением числа в одной ячейке таблицы Excel.
Кроме того, проверена выполнимость расчетов для произвольного значения шага dt.
Также поведены расчеты для трех тел – Земля, Луна и спутник, при этом Луна движется по круговой траектории вокруг Земли, а спутник по траектории, обусловленной совместным воздействием Земли и Луны.
На графике Рис. 3 показана траектория движения КО для случая V1=1,5.
На графике Рис. 4 показана характеристика орбитальной скорости.
На графике Рис. 5 показаны характеристики изменения ускорений g, Acb и (g-Acb) во времени.
На графике Рис. 6 показана характеристика радиальной скорости Vn
На графике Рис. 7 показана характеристика тангенциальной скорости Vt
На графике Рис. 8 показаны характеристики всех скоростей (Vt, Vn, V) во времени.
Проведем сопоставительный анализ полученных результатов. По методике Ньютона, в которой процесс рассматривается в ИСО, равномерное движение тела (спутника) по круговой траектории состоит из двух движений: 1. Движение по инерции, т.е. равномерное прямолинейное в отсутствие воздействия внешних сил, и 2. движение под действием центростремительной (ЦС) силы, функции которой в отсутствие силы реакции опоры выполняет сила тяготения. Причем БЕСПРИЧИННОЕ движение по инерции в текущей точке траектории направлено по касательной к траектории, а движение под действием ЦС силы (силы тяготения) направлено к центру гравитирующего объекта (ГО). Получается, что ЦС сила как бы доворачивает прямолинейное равномерное БЕСПРИЧИННОЕ движение и делает его круговым.
При равномерном движении тела по сферической поверхности Земли (в отсутствие сил сопротивления движению) добавляется еще сила реакции опоры, которая действует радиально вверх (перпендикулярно поверхности), и которая уменьшает силу тяготения на величину ЦС силы, т.е. появляется неуравновешенная ЦС сила, направленная вниз. Далее имеем всё то же БЕСПРИЧИННОЕ движение по инерции, которое в текущей точке траектории направлено по касательной к траектории, и движение под действием ЦС силы (разница силы тяготения и силы реакции опоры), которое направлено к центру гравитирующего объекта (ГО). И здесь получается, что ЦС сила как бы доворачивает прямолинейное равномерное БЕСПРИЧИННОЕ движение и делает его круговым, по сферической поверхности Земли.
Движение тела по эллиптической траектории происходит при участии этих же составляющих, т.е. БЕСПРИЧИННОГО движения по инерции, движения под действием ЦС силы и дополнительной тангенциальной силы. При этом ЦС сила направлена нормально к траектории, а тангенциальная сила по касательной к траектории. Нормальная и тангенциальная составляющие (вектора) дают в сумме силу тяготения. Радиус кривизны траектории определяется исходя из условия равенства ЦС силы проекции силы тяготения на нормаль, а начало радиуса болтается где-то в пространстве.
По предложенной мною методике процесс рассматривается в ЛАСО (локально-абсолютная СО, с началом отсчета в центре ГО), движение тела по круговой или эллиптической траектории происходит под действием трех сил: силы тяготения, центробежной (ЦБ) силы и силы «тигунции». При этом сила тяготения направлена радиально к центру ГО, ЦБ сила направлена радиально от центра ГО, сила «тигунции» направлена по хорде окружности текущего радиуса. Сила «тигунции» порождается силами тяготения на эквипотенциальной сферической поверхности, благодаря радиальному характеру сил тяготения и имеет характеристики, сходные с характеристиками сил тяготения. Сила «тигунции» действует только на тело, которое приобрело какую-то скорость в результате приложения внешней силы, и поддерживает равномерность движения с этой скоростью, в отсутствие сил сопротивления движению.
В случае равномерного движения тела по круговой траектории сила тяготения полностью скомпенсирована ЦБ силой, движение происходит только под действием силы «тигунции», которая движет тело строго по окружности, т.е. в любой точке окружности сила «тигунции» направлена по хорде окружности и в пределе по окружности, при этом направление движения совпадает с направлением действия силы. Действие силы «тигунции» проявляется в том, что она изменяет НАПРАВЛЕНИЕ движения тела и не изменяет при этом величину скорости.
При равномерном движении тела по сферической поверхности Земли (в отсутствие сил сопротивления движению) добавляется еще сила реакции опоры, которая действует радиально вверх (перпендикулярно поверхности), и которая вместе с ЦБ силой полностью компенсирует силу тяготения. Движение происходит под действием силы «тигунции», которая движет тело строго по окружности, т.е. в любой точке окружности сила «тигунции» направлена по хорде окружности и в пределе по окружности, при этом направление движения совпадает с направлением действия силы. Действие силы «тигунции» проявляется в том, что она изменяет НАПРАВЛЕНИЕ движения тела и не изменяет при этом величину скорости.
В случае движения по эллиптической траектории сила тяготения не полностью скомпенсирована ЦБ силой, поэтому в радиальном направлении на тело действует сила равная разности силы тяготения и ЦБ силы. Эта разностная сила по ходу траектории постоянно изменяется, причем на некоторых участках траектории преобладает сила тяготения, на некоторых – ЦБ силы. Эта сила создает ускорение, которое создает радиальную скорость. Причем направление радиальной силы и скорости ею обусловленной совпадают. При этом движение под действием силы «тигунции», происходит точно также как по круговой траектории, т.е. сила тигунции движет тело строго по окружности, (в любой точке окружности сила «тигунции» направлена по хорде окружности и в пределе по окружности, при этом направление движения совпадает с направлением действия силы), с той лишь разницей, что в каждой новой точке эллиптической траектории учитывается новая окружность со своим радиусом (относительно центра ГО).
Таким образом, имеем две методики, которые с точностью, заложенной в численном методе расчета, одинаково рассчитывают как круговую, так и эллиптическую траектории движения тел в гравитационном поле ГО.
Одна методика основана на совместном использовании БЕСПРИЧИННОГО (т.е. не физического) движения и движения, обусловленного силой тяготения. При этом направление действия сил и скоростей ими обусловленных не совпадают.
Другая методика основана на совместном использовании трех ФИЗИЧЕСКИХ сил, направление которых совпадает с направлением скоростей, ими созданных.
Возникает вопрос – если результаты расчетов совпадают, то должна быть возможность математических преобразований, позволяющих переходить от одной методики к другой?
Рассмотрим вначале для случая круговой траектории.
По предлагаемой методике действует только сила «тигунции» (сила тяготения скомпенсирована ЦБ-силой), направленная по хорде окружности. Если сравнить скорости тела в начале и в конце шага расчета, то видим, что величина скорости не изменилась, а направление изменилось. Векторная разность скоростей в конце и начале шага расчета отнесенная к времени шага даст вектор ускорения, направленный к центру окружности. Т.е. получаем классический вектор ЦС ускорения, однако к его созданию сила тяготения не имеет никакого отношения, так как полностью скомпенсирована ЦБ-силой. Т.о. вектор ЦС ускорения создан силой «тигунции», и зависит полностью от скорости движения, а его величина определяется выражением V2/R.
По ньютоновской методике при отсутствии силы реакции опоры ЦС ускорение создается силой тяготения, которая никак не связана со скоростью движения, а величина скорости поддерживается постоянной за счет БЕСПРИЧИННОГО движения по инерции.
Т.о. в ньютоновской методике обнаруживается некорректность в указании силы, создающей ЦС ускорение (указана сила тяготения) и неопределенность в описании причины равномерного прямолинейного движения.
Далее рассмотрим для эллиптической траектории.
По предлагаемой методике действуют три силы, изменяющиеся по величине и направлению по ходу траектории, при этом сила тяготения не полностью скомпенсирована ЦБ-силой, а сила «тигунции», направлена также по хорде окружности, но уже текущего радиуса. Если сравнить скорости тела по этой окружности текущего радиуса в начале и в конце шага расчета, то видим, что величина скорости не изменилась, а направление изменилось. Векторная разность скоростей в конце и начале шага расчета отнесенная к времени шага даст вектор ускорения, направленный к центру окружности текущего радиуса. Т.е. получаем классический вектор ЦС ускорения, однако к его созданию сила тяготения также не имеет никакого отношения. Т.о. вектор ЦС ускорения создан силой «тигунции», направлен к центру ГО, и зависит полностью от скорости движения по хорде окружности текущего радиуса, а его величина определяется выражением V2/R.
Однако, создаваемое силой «тигунции» ЦС ускорение по своей величине равно ЦБ-ускорению и противоположно направлено к нему, из чего можно увидеть как бы взаимную компенсацию ЦБ ускорения и ЦС ускорения, и тогда вроде бы остается в действии только сила тяготения. В таком виде эта ситуация и используется в ньютоновской методике.
На самом же деле, для полного понимания процесса движения тела по любой траектории в гравитационном поле ГО, необходимо рассматривать все силы, действующие на тело.
Из анализа процесса движения тела в гравитационном поле с учетом ЦБ и ЦС ускорений, например, следует, что- необходимо учитывать или все силы (тяготения, ЦБ и «тигунции»), реально действующие на тело при его движении в гравитационном поле, учитываемые в моей методике, или учитывать только силу тяготения совместно с беспричинным движением по инерции по методике Ньютона.
Выводы:
Чётко определены смысл и область применения понятий о центробежной и центростремительной (притяжения) силах и соответствующих им ускорений.
Создана механика, которая объясняет законы движения тел при горизонтальных составляющих скоростей тел от нуля до первой космической скорости и выше в поле тяготения Земли. Рассмотрено влияние центробежных сил, не связанных с вращением Земли, обусловленных горизонтальными скоростями тел на параметры их движения. Показана возможность использования законов Кеплера, центробежных и гравитационных ускорений и соответствующих им сил при решении баллистических и им подобных задач.
Показано, что совместный учет сил притяжения, центробежной и инерции-«тигунции» позволяет физически правильно решить задачу определения траектории движения тел в поле тяготения гравитирующих объектов.
