Автор статьи: Антонио Грамши, педагог, математик и автор логических игр.
На первый взгляд, игра представляет собой типичную головоломку четвертого класса, в котором множество начальных конфигураций порождает множество конечных.
Однако ее возможности значительно шире. Игра в тройки может использоваться в качестве интеллектуального конструктора для разнообразных красивых конфигураций – аналогично игре (точнее, клеточному автомату) “Жизнь”, – а также для создания интересных математических задач.
Правила игры очень просты.
На “бесконечном” листе бумаги в клетку задается произвольная начальная конфигурация из конечного числа крестиков, которую мы назовем затравкой. Пример затравки представлен на рис. 1.
Назовем приведенную на рисунке затравку из четырех крестиков тетрадой. Здесь и в следующих рисунках затравка выделена синим цветом.
К затравке последовательно добавляются новые крестики в соответствии со следующими двумя правилами.
1. Каждый выставляемый крестик должен образовывать с уже выставленными хотя бы один ряд из трех рядом стоящих крестиков по вертикали, горизонтали или диагонали.
Из этого правила следует, что нельзя выставлять изолированный крестик, а также выстраивать ряд, состоящий лишь из двух рядом стоящих крестиков.
2. Запрещается ставить крестик, если он при этом образует с уже выставленными хотя бы один ряд более чем из трех рядом стоящих крестиков.
Эти правила иллюстрируются на рис. 2.
В клетки 1, 2, 3 ставить крестики можно. После этого в клетку 4 крестик ставить нельзя, т.к. образуется ряд из четырех рядом стоящих по вертикали крестиков [1, 2, 3, 4] (нарушено правило 2). В клетку 5 крестик тоже ставить нельзя, т.к. при этом образуется диагональный ряд лишь из двух крестиков [1, 5] (нарушено правило 1).
Оказывается, к любой затравке можно добавить лишь конечное число новых крестиков (бесконечные затравки мы пока не затрагиваем). Попробуйте это доказать!
Конфигурации, к которым невозможно, не нарушая правил, добавить новые крестики, назовем полными. В противном случае они считаются неполными.
Из эстетических соображений мы не будем использовать так называемые избыточные затравки, содержащие хотя бы один ряд более чем из трех рядом стоящих крестиков.
Некоторые полные конфигурации, порожденные тетрадой, обладают изящной симметричной структурой (рис. 3 – 7).
Полная конфигурация из 9 крестиков “квадрат”
Полная конфигурация из 12 крестиков “паровоз”. Ее симметричность нарушена нижним левым крестиком тетрады. Тем не менее, конфигурация воспринимается как правильная. Это связано с тем, что она получена двумя последовательными параллельными переносами конфигурации из четырех крестиков. Какой?
Полная конфигурация из 14 крестиков – “рыба”.
Полная конфигурация из 15 крестиков – “дафния”.
Полная конфигурация из 15 крестиков – “краб”.
Важный класс полных конфигураций – прежде всего с эстетической точки зрения – составляют те из них, в которых нет изолированных крестиков, а также двоек – рядов, состоящих только из двух рядом стоящих крестиков. Кроме того, затравки, из которых они построены, не являются избыточными. Назовем такие конфигурации совершенными. Например, из вышеприведенных конечных конфигураций, построенных из тетрады, только “дафния” является совершенной. В противном случае – то есть если не выполнено хотя бы одно из условий – конфигурация считается несовершенной.
Конечность полных конфигураций, полученных из конечных затравок, естественным образом порождает несколько взаимосвязанных классов задач, которые и можно считать целями игры. Приведем некоторые из них.
1. Для заданной затравки найти полную конфигурацию с максимальным числом крестиков.
В общем случае эта задача весьма сложна (пока не найдено разумного алгоритма, не сводящегося к простому перебору возможностей). Автор предполагает, что к тетраде можно добавить, самое большее, 19 новых крестиков. Соответствующая полная конфигурация из 23 крестиков изображена на рис. 8.
Восстановите последовательность ходов, ведущих от тетрады к данной полной конфигурации.
2. Можно, наоборот, задаться целью найти для данной затравки минимальную полную конфигурацию. Для тетрады ею будет квадрат 33, изображенный на рис. 3. Число крестиков в нем равно 9.
Первый и второй классы задач порождают собственные антиверсии – третий и четвертый классы соответственно.
3. Для заданной полной конфигурации найти порождающую ее минимальную затравку (то есть такую, которая состоит из наименьшего числа крестиков). Разумеется, при этом нужно отыскать и соответствующую последовательность ходов, ведущую от затравки к данной полной конфигурации. Алгоритм решения очевиден – он сводится к последовательному удалению крестиков из троек – рядов по три крестика. Нужно попытаться снять наибольшее число крестиков.
Составление и решение задач такого рода может доставить подлинное эстетическое удовольствие. Приведем два примера.
Найдите минимальную затравку для полной конфигурации, изображенной на рис. 9.
В качестве решения напрашивается затравка из четырех крестиков, обладающая тем же типом симметрии, что и конечная конфигурация. Однако задачу решают иные затравки. Две из них изображены на рис. 10a и 10b .
А теперь решите аналогичную задачу для полной конфигурации, изображенной на рис. 11.
Минимальное число крестиков в затравке для этой конфигурации равно 5. Два варианта решения представлены на рис. 12a и 12b.
Для некоторых полных конфигураций, изображенных на рис. 3 – 7, тетрады избыточны в качестве затравок. Для каких? Найдите их минимальные затравки (ясно, что они состоят из трех крестиков).
4. Для заданной полной конфигурации найти порождающую ее максимальную затравку. Алгоритм решения аналогичен таковому для третьего класса задач, но здесь нужно снять наименьшее число крестиков.
5. Для заданной затравки найти полную конфигурацию с фиксированным числом крестиков. Автору удалось найти порожденные тетрадой полные конфигурации с числом крестиков, равным 9, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20, 22 и 23. Попытайтесь самостоятельно найти их. Кстати, для числа 12 существуют как минимум три различные конфигурации.
Полные конфигурации могут быть использованы в качестве элементов декора. Их главное эстетическое достоинство – ажурность. На рис. 13 приведены симметричные полные конфигурации, полученные из тетрады. Мы представили их в виде цветной мозаики, заменив крестики цветными квадратиками.
В такой мозаике любой отрезок, проходящий через центры выставленных квадратиков и целиком принадлежащий им, не превышает фиксированной величины, выраженной в условных метрических единицах, в данном случае трех единиц. Подразумевается так называемая шахматная метрика, в которой сторона квадрата равна его диагонали.
Представим в виде цветной мозаики полные конфигурации из последних двух задач (рис. 14).
Перейдем к бесконечным полным конфигурациям. Их можно получить из бесконечной же затравки, в частности, комбинируя уже готовые конечные конфигурации, которые назовем звеньями.
Продолжим использовать вместо крестиков цветные квадратики: составленные из них конфигурации воспринимаются легче. Кроме того, их можно быстро и легко рисовать в редакторе Word, используя цветовую заливку табличных ячеек.
Введем важное понятие, характеризующее именно бесконечные полные конфигурации, – плотность.
Особый интерес представляют правильные, то есть регулярные полные конфигурации. Назовем их узорами. Узоры, так же, как и конечные полные конфигурации, могут быть совершенными и несовершенными (см. соответствующее определение выше).
На рис. 15-20 приведены различные несовершенные узоры. Найдите для них минимальные затравки.
Пожалуй, самыми интересными – как в эстетическом, так и математическом отношении – являются совершенные узоры. Приведем два примера (рис. 21-22).
Несложно заметить, что последний узор сконструирован на основе “дафнии”, тоже совершенной конечной конфигурации. Автор предполагает, что это максимально плотный совершенный узор.
Придадим ему динамизм, добавив цвета (рис. 23).
Используя три цвета (голубой, красный и желтый), можно осуществить такую раскраску данного узора, при которой в каждой тройке по вертикали, горизонтали и левой диагонали встречаются ровно три цвета, а по правой диагонали – ровно один цвет. Получается очень красивый узор, обладающий богатой цветной симметрией (рис. 24).
Найдите плотности всех вышеприведенных узоров!
Хотите узнать больше о головоломках и логических играх? А помочь ребенку создать их самому? Регистрируйтесь на занятия Антонио Грамши этим летом!
Получить 10 полезных материалов для развития математических способностей ребенка в телеграм
🔔 Подпишитесь — расскажем, как превратить «не хочу» в «дай задачу посложнее».
Вам может быть интересна статья: