Часто в математических играх не только можно заранее определить победителя при оптимальной стратегии игроков, но и определить победителя в независимости от стратегий игроков. Здесь на помощь приходят инварианты.
Условие:
На столе лежат три кучки камней. В них 20, 11 и 7 камней соответственно. За ход игрок может разделить любую кучку на две части (не обязательно равные). Выигрывает игрок последним сделавший ход. При каком количестве игроков всегда выигрывает первый игрок (найдите все возможные значения)?
Решение:
Очевидно, что за один ход количество кучек увеличится на одну. Так же легко заметить, что после последнего хода на столе будет 20+11+7=38 кучек по одному камню. Это значит, что будет совершено 35 ходов в независимости от того, как будут действовать игроки. Первый игрок победит в том и только том случае, когда остаток от деления 35 на n (n - количество игроков) равен 1. Перечислим все такие значения (их легко найти среди делителей числа 34): 2, 17, 34.
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!
