Автор статьи: Антонио Грамши, математик, биолог и изобретатель настольных игр
Рекомендуем начать с первой части статьи про хап с равноценными элементами.
Александр Доброчаев, преподаватель биологии в школе “Интеллектуал”, предложил разновидность хапа, в котором элементы исходного множества имеют различную ценность (вес). Правила те же, но условие выигрыша иное: выигрывает тот, у кого суммарный вес выбранных объектов больше. В качестве исходного множества можно взять ряд чисел от 1 до n (где n может быть равен, к примеру, 10). Для игры с детьми нужно использовать разнообразные объекты, имеющие различную ценность (для детей, прежде всего), например, конфеты разных марок.
Попробуем выяснить, есть ли в этой разновидности игры седловые точки. По-прежнему будем анализировать элементарные одноходовые подыгры. Поскольку подыгра симметрична и, следовательно, имеет нулевую цену, то выигрыши у обоих игроков во всех седловых точках должны быть нулевые.
Начнем с одноэлементного исходного множества U={1}. Ясно, что в соответствующей подыгре существует единственная седловая точка‖1,{1}‖.
Если U={1, 2}, то, очевидно, такой точкой будет ‖2,{2}‖.
Аналогично, для подыгры с U={1, 2, 3} седловой точкой будет ‖3,{3}‖, т. к. 3=1+2.
Рассмотрим теперь подыгру с U={1, 2, 3, 4}. Очевидно, что точка ‖4,{4}‖ не будет седловой.
Зная что В выберет В1={4}, игрок А выберет А1={1, 2, 3} и выиграет два очка, т. к. (1+2+3)-4=2. То же самое рассуждение можно провести для игрока В.
Существуют ли вообще седловые точки для подыгры с U={1, 2, 3, 4}? Несложно найти все максимальные выигрыши игрока А для всех соответствующих подмножеств B1 (последних имеется 14=24-2, т. к. подмножества B1=∅ и B1={1, 2, 3, 4} по понятным причинам можно не рассматривать). Итак, возможные значения максимальных выигрышей для игрока А будут 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 (интересно отметить, что отсутствует максимальный выигрыш, равный 5). Минимальным из них будет 2.
Следовательно, если имеется хотя бы одна седловая точка, то мощности входящих в нее подмножеств больше 1 (*).
Итак, рассмотрим множество P всех седловых точек (оно может быть лишь конечным для конечного универсального множества). Это значит, что, выбирая любую из этих точек, игроки обеспечивают себе нулевой выигрыш (ввиду симметрии подыгры).
Рассмотрим произвольную седловую точку из множества P. Этой седловой точке соответствуют определенные мощности |A1| и |A2|.
Т. к. при сравнении подмножеств сравниваются только их мощности (состав элементов не имеет значения), то для обоих игроков выгодно выбирать в эти подмножества самые большие числа (n, n-1,..). С другой стороны, зная, что игрок В выберет самые большие числа в свое подмножество (мощности, соответствующей одной из седловых точек), игрок А может выбрать подмножество, тоже состоящее из самых больших чисел, но имеющее мощность на единицу меньшую, чем |A1|. Возможность выбора такого подмножества вытекает из доказанного выше утверждения (*). Ясно, что в этом случае игрок А выиграет в данной подыгре (те же самые рассуждения можно применить и к игроку В).
Это значит, что наша предполагаемая седловая точка таковой не является. Полученное противоречие доказывает, что игра не имеет седловых точек и, следовательно, нужно использовать смешанную стратегию.
В качестве упражнения предлагается найти смешанные стратегии для этой игры с исходными множествами небольших мощностей. Можно ли вывести общую смешанную стратегию для игры с произвольным универсальным множеством U={1, 2,...n}?
Описанные в этой и прошлой статье разновидности хапа – с равноценными и неравноценными элементами – интересны с математической точки зрения и могут использоваться в качестве развивающих игр для детей. В качестве серьезных позиционных игр они не годятся, поскольку ходы в партии никак не связаны друг с другом и, следовательно, сами игры распадаются на одноходовые игры.
Получить 10 полезных материалов для развития мышления ребенка в телеграм
🔔 Подпишитесь — расскажем, как превратить «не хочу» в «дай задачу посложнее».
Вам может быть интересна статья: