Давно уже по интернету гуляет забавная картинка, "доказывающая", что число π равно четырём.
В каждой шутке есть доля шутки, но эта показалась мне возмутительной. Потому что с первого взгляда непонятно, в чём подвох.
Для того, чтобы найти, в чём тут подвох, потребуется разобраться с понятием длины кривой. Длина кривой, как оказалось, определяется так. В кривую вписываются всевозможные ломаные, и считаются длины этих ломаных. Если получившийся ворох чисел ограничен сверху, то эта граница и рассматривается как длина кривой, а сама кривая называется спрямляемой.
Кстати, если кривая спрямляемая, то её легко параметризовать длиной, то есть, превратить в вектор-функцию вида R = R(t), где t -длина кривой от начала до данной точки R.
До этого момента всё хорошо. Но эти ступенчатые приближения ничем не хуже ломаных - у них тоже есть конечная длина, эта длина равна 4. Почему же последовательность таких приближений сходится к окружности, а их длины - нет?
Оказывается, в математическом анализе есть теорема и на этот счёт. Дальше нам понадобятся два понятия: сходимость по длине и сходимость по вариации.
Сходимость по длине определяется так. Пусть есть семейство кривых:
Rn(t) = ( xn(t), yn(t) ), n = 0, 1, 2, ...
и у этих кривых есть длины: L(Rn)
Сходимость Rn(t) →R(t) по длине означает, что:
а) Rn(t)→R(t) равномерно
б) L(Rn)→L(R)
Со сходимостью по вариации всё совсем просто. Нам потребуется сходимость по вариации лишь обычных вещественнозначных функций.
Вариация функции V f(t) определяется так. Из области определения этой функции вытаскивается некоторое конечное число точек x1, x2, ..., xk и составляется сумма:
S(x1, x2, ..., xk) := | f(x2) - f(x1) | + | f(x3) - f(x2) | + ...
Если множество подобных сумм по всевозможным разбиениям ограничено сверху, то эта граница называется вариацией функции (очень напоминает построение длины кривой, не так ли).
Сходимость fn(t) →f(t) по вариации означает, что:
а) fn(t) →f(t) равномерно
б) V fn(t) →V f(t)
Теперь можно сформулировать ту самую теорему(*).
Следующие сходимости эквивалентны:
a) сходимость Rn(t) →R(t) по длине
б) сходимость a∙xn(t) + b∙yn(t)→a∙x(t) + b∙y(t) по вариации для любых констант a и b.
С учётом этой теоремы причина столь странного поведения ступенчатых функций становится ясна как на ладони. Действительно, рассмотрим четверть многострадальной окружности, повернём её на 45°, чтобы было удобно параметризовать, и посчитаем получившиеся вариации.
Очевидно, вариации V2 ступенек на любом шаге будут постоянными и отличными от вариации V1, определяемой четвертью окружности. Поэтому сходимости по вариации тут нет, и, следовательно, нет сходимости ступенчатых приближений к окружности по длине.
(*) Miriam C. Ayer and Tibor Rado, "A Note on Convergence in Length" (ссылка).
