Хотите научиться математическому фокусу? Вы можете в уме мгновенно находить квадраты любых чисел, заканчивающихся на цифру 5. Для этого надо отбросить последнюю цифру 5, полученное число умножить на число, большее его на 1, и справа приписать 25.
Проверим на числе 35.
Отбрасываем последнюю цифру 5, получаем 3. Вычисляем 3 · (3 + 1) = 3 · 4 = 12;
Ответ: 1225.
Проверьте на калькуляторе. Правильно?
Так можно возводить в квадрат любые числа, оканчивающиеся на 5, не только двузначные. Правда, если числа будут трехзначные, то придется в уме перемножать двухзначные числа, а это не все могут делать быстро.
Сейчас мы поговорим про квадраты, прямоугольники и заборы, и по ходу дела получим объяснение этого фокуса.
Вопрос: что больше — квадрат или прямоугольник?
Ученик: Наверно, и так, и так бывает.
Сейчас уточним задачу. Представьте себе, что вы — фермер, и вам предлагают взять землю в аренду. По условиям договора вы получите в аренду кусок земли, который сможете огородите забором заданной, заранее известной длины.
Вопрос: какой формы участок следует огородить, чтобы при заданной заранее длине забора площадь его была максимальной?
Собственно, интуитивно понятно, что максимальная площадь будет у круглого участка земли. Но мы не будем сейчас рассматривать участки с криволинейными границами. Упростим задачу и скажем, что огороженный участок должен быть прямоугольной формы. При каком соотношении сторон этот участок будет иметь наибольшую площадь?
Ученик: интуитивно понятно, что соотношение сторон должно быть 1 : 1, то есть надо огородить квадратный участок.
Да, правильно. Можно эту задачу сформулировать по-другому: если сумма двух чисел не меняется, то каким будет наибольшее произведение?
Например, что больше, 18 · 20 или 19²? Это частный случай заданной выше задачи — ведь 18 + 20 = 19 + 19.
Нам уже понятно, что 19² должно быть больше, чем 18 · 20. Но интересно, насколько? А вот это не очень понятно, надо разбираться.
Давайте составим табличку-картинку, чтобы все прояснить.
В ней будет четыре столбца. В первом будет натуральное число n, во втором его квадрат n², а в третьем произведение двух чисел, отличающихся от n на единицу, в меньшую и в большую сторону. В четвертом столбце будем писать разность между вторым и третьим столбцом, то есть насколько площадь квадрата больше площади соответствующего ему прямоугольника.
Мы видим, что второй столбец всегда больше третьего, и разница между ними равна 1. Почему именно на 1, и всегда ли это верно?
Поступим, как поступали в таких ситуациях древние греки.
Нарисуем квадратик. Отрежем от него горизонтальную полоску, и приставим ее вертикально к получившемуся прямоугольнику.
Площади старой и новой фигуры одинаковы, ведь они составлены из одинаковых кусочков. Получается, что площадь полученного прямоугольника меньше площади исходного квадрата на площадь синего квадратика, сторона которого равна ширине полоски, которую мы отрезали. Поэтому квадрат всегда больше, чем прямоугольник с тем же периметром.
Площадь прямоугольника, полученного так, как мы показали на картинке, будет меньше площади исходного квадрата на величину площади квадратика со стороной, равной ширине полоски, отрезаемой от исходного квадрата.
Переведем все это на язык алгебры:
(a + b) (a - b) = a² – b²
Перенесем b² в левую часть и поменяем местами обе части равенства:
a² = (a + b) (a - b) + b²
Полученный нами результат можно применять либо для перемножения разных чисел, либо для возведения чисел в квадрат.
Например, вот как можно возвести в квадрат число 19:
19² = 18 · 20 + 1² = 360 + 1 = 361
Или, например, найдем квадрат числа 195:
195² = 190 · 200 + 5² = 38000 + 25 = 38025
Очень часто современные дети просто не способны выучить таблицу умножения, даже если очень стараются. Они учат — а на следующий день опять забывают. Еще раз выучивают — а завтра опять не помнят. В таких случаях можно попробовать применять такую технику: вместо того, чтобы возводить число в квадрат, можно перемножать близкие к нему числа.
Например, ребенок забыл, сколько будет 8². Но он может найти ответ таким образом:
6 · 10 + 2², то есть 64.
Или ребенок не помнит, сколько будет 6 · 8. Но он может посчитать это так: 7² – 1 = 48.
Если просто выучить квадраты всех чисел в таблице умножения, то можно очень легко находить произведения чисел, близких к ним.
Ученик: а если числа отличаются на нечетную величину, то как быть?
В этом случае придется одно из чисел скорректировать на единицу — посмотреть, где более круглое число получится, на которое легко умножать — а потом результат скорректировать на величину другого сомножителя.
Например, чтобы умножить число на 9, нужно умножить его на 10 и из результата вычесть первый сомножитель:
8 · 9 = 8 · 10 – 8 = 80 – 8 = 72
Сейчас вошла в моду система мануальных вычислений. Владеющие этой системой на пальцах перемножают практически любые числа. Например, умножают в уме десятизначные числа на десятизначные.
Называется система «ментальная арифметика». Зародилась в Японии, и представляет собой древнее ремесло, возведенное в степень мастерства.
Меня часто спрашивают родители учеников, стоит ли отдавать ребенка в школу такой ментальной арифметики? Я отвечаю, что если они хотят, чтобы ребенок научился очень хорошо умножать числа, то он этому научится. Но это все — больше никакой пользы от этой ментальной арифметики не будет.
Детей надо учить математике не для того, чтобы потом в магазине они смогли быстро проверить чек и сдачу, не пользуясь калькулятором. Математике нужно учить для развития сообразительности, которая в жизни пригодится для гораздо более серьезных вещей. Чем бы человек ни занимался, ему всегда пригодится — а может быть, и потребуется — умение структурировать информацию, раскладывать ее по полочкам и принимать на основании этой информации неожиданные решения. А ментальная математика этому не учит. Она учит только перемножать числа.
При обучении математике главная задача заключается не в том, чтобы показать, как надо делать. Главное — развивать умение придумывать решения задач, для которых нет готовых решений.
Кратко подведем итоги. Мы определили, что если два числа отличаются от какого-то другого (среднего для них) на единичку — одно больше, другое меньше — то их произведение всегда на 1 меньше, чем квадрат среднего. Эта идея очень помогает при проведении различных количественных оценок. Стоит также запомнить, что если отличие двух чисел от среднего больше 1, то есть 2, 3, 4, 5.., то их произведение меньше квадрата среднего на квадрат этого отличия, то есть на 4, 9, 16, 25…
То, что эта идея помогает освоить таблицу умножения — не так уж и важно, это дополнительный бонус. Главное — понимание сути, а именно: если сумма двух чисел неизменна, то наибольший результат при их перемножении получается, когда они равны, и причем понятно, на сколько именно отличаются результаты для конкретных пар чисел от этого наибольшего результата.
