В этой публикации мы расскажем, как придумать доказательство теоремы Пифагора, которое не требует вычислений. Традиционно ее доказывают так: режут квадраты на какие-то кусочки, затем эти кусочки как-то составляются и становится понятно, что сумма большого квадрата равняется сумме двух маленьких. Но это доказательство годится только для квадратов. Если мы воспользуемся идеей, что теорема Пифагора одновременно верна или неверна для любых подобных фигур (об этом см. в нашей предыдущей публикации здесь) — то есть таких, которые отличаются только размером, а форма их одинакова — то из этой идеи можно получить доказательство теоремы Пифагора в один ход, без вычислений вообще
Мы будем доказывать теорему Пифагора не для квадратов, а для более простых фигур. Если мы докажем ее для каких-то подобных фигур, то она будет верна для любых подобных фигур и, в частности, для квадратов. Сама эта идея такого доказательства — не такая уж и очевидная и простая.
В доказательстве будем использовать треугольники. Итак, у нас имеется прямоугольный треугольник abc. Опускаем из вершины прямого угла высоту. Затем вывернем треугольник наизнанку относительно гипотенузы, и получим желтый треугольник, равный исходному, синему.
Исходный синий треугольник высотой разделился на два треугольника. Вывернем их наизнанку, как мы это делали с исходным треугольником.
Вот что у нас получилось.
Без всяких дополнительных соображений ясно, что все три треугольника, построенные на сторонах исходного прямоугольного треугольника abc, подобны, и площадь большого треугольника равна сумме площадей двух маленьких.
Sc = Sa + Sb
Что и требовалось доказать. Для треугольников мы теорему Пифагора доказали, следовательно, она верна для любых подобных фигур, в том числе и для квадратов.
Несмотря на то, что все приведенные рассуждения были очень простыми, почти очевидными, в них содержатся совсем непростые и важные идеи.
Ученик: таким образом, мы доказали теорему Пифагора еще одним способом. В принципе, это соответствует идеям, высказанным в предыдущих двух публикациях. Мы тренируем свой математический аппарат.
Ответ: то, что мы доказали теорему Пифагора для треугольников — это не так уж и важно. Главное то, что мы доказали, что теорема Пифагора верна для любых подобных фигур. Мы этим воспользовались для того, чтобы найти очень простое и красивое доказательство теоремы Пифагора.
Ученик: а теорема Пифагор, насколько мне помнится, формулируется как «сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы». То есть она устанавливает взаимозависимость сторон, и позволяет вычислить третью сторону прямоугольного треугольника, если известны две его стороны. Там и речи не ведется о квадратах. Квадраты как геометрические фигуры используются только для доказательства алгебраического равенства c² = a² + b² .
Нет, это не так. Стоит заметить, что в Древней Греции алгебры не было вообще, и все теоремы формулировались в терминах площадей, длин и фигур. Теорема Пифагора в те времена формулировалась именно так — что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. А если кто-то понимает теорему Пифагора как алгебраическое равенство — то это проблема этого человека, а не Пифагора.
Ученик: насколько я понимаю, практическая польза теоремы Пифагора именно в том, что по двум сторонам прямоугольного треугольника можно вычислить третью. Например, при строительстве дома, если известна длина стены и высота чердака, то по теореме Пифагора можно вычислить длину досок, которые потребуются для изготовления кровли. Нужно построить прямоугольный треугольник, катеты его известны, надо найти гипотенузу. Складываем квадраты катетов и извлекаем квадратный корень — получаем длину досок для кровли. Кстати, древние греки умели извлекать квадратный корень из числа?
Они умели больше, чем мы умеем. А насчет квадратного корня можно вспомнить такую историю. Если у древнего грека спросили бы, какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1, то он бы сказал, что такого числа не существует. То есть сама гипотенуза есть, а длины у нее нет. То есть нет такого числа, квадрат которого равен 2. Имеется в виду, равен в точности. Приблизительно — конечно, такие числа найдутся. Но их вычислять особого смысла нет. Приблизительно можно и линейкой — ну или веревкой, рулеткой — померить.
В следующей публикации поговорим о делении чисел. Особенно о делении на числа, меньшие единицы.
