Мои постоянные читатели знают, что я начала вести спецкурс для учащихся своей школы по задачам №19 профильного ЕГЭ (и №18, но сегодня именно о №19).
Рассматривая тему "Последняя цифра числа", я с удивлением обнаружила, что старшеклассники никогда просто так не рассматривали таблицу квадратов, хотя она у них висела перед глазами 6-7 лет (напомню, что этих детей я никогда не учила).
Если вы тоже до сих пор не рассматривали таблицу квадратов так, как это делают дети, ничего не знающие об этих самых квадратах, если не заметили никаких закономерностей, если при этом планируете сдать ЕГЭ по математике профильного уровня на высокий балл, то эта статья для вас!
Во-первых, напомню, что на ЕГЭ по профильной математике таблицей квадратов, ровно как и калькулятором, пользоваться нельзя! При этом приходится извлекать квадратные корни. Так, на ЕГЭ -2020 (со слов участников ЕГЭ) в одном из вариантов требовалось в двух заданиях извлекать квадратные корни из 5-значных чисел! На Московском пробнике (29.02.2020) в задаче №17, чтобы не извлекать корень из довольно большого числа, сначала надо было сократить несколько раз коэффициенты квадратного уравнения. Вы точно догадались бы до этого?
Итак, первое, о чём я хочу рассказать, это о возведении в квадрат чисел, заканчивающихся на 5. Рассмотрите этот столбик!
Вы заметите, что все числа, находящиеся в этом столбике, заканчиваются на 25. Легко установить и другую закономерность: при возведении двузначного числа в квадрат первая цифра этого числа домножается на следующую за ней в натуральном ряду. Например: 25 в квадрате = (2*3)25, т.е. 625, а 75 в квадрате = (7*8)25=5625 и т.п.
Переходим ко второму наблюдению. Посмотрите на столбцы таблицы, симметричные только что рассмотренному столбцу (где числа, возводимые в квадрат, заканчиваются на 5, а их квадраты на 25).
Легко заметить, что, числа, заканчивающиеся на 4 и на 6 при возведении в квадрат будут заканчиваться на 6; числа, заканчивающиеся на 3 и 7, при возведении в квадрат, будут заканчиваться на 9, числа, заканчивающиеся на 2 и 8, при возведении в квадрат будут заканчиваться на 4, а числа, заканчивающиеся на 1 и 9, при возведении в квадрат будут заканчиваться на 1.
Зачем это нужно знать?
Во-первых, можно извлекать корни из чисел, являющихся полными квадратами. Например, корень из 1849.
Т.к. число 1849 заканчивается на 9, то в квадрат возводили число, заканчивающееся на 3 или на 7. Первые две цифры числа образуют число 18, которое расположено правее ближайшего полного квадрата - числа 16, таким образом, корень из 1849 = 43 или 47. Осталось перемножить столбиком 43 на 43, и, если ответ не совпадёт с числом, из которого извлекаем корень, то это 47, а если совпадёт, то это 43.
Во-вторых, это полезно при решении задач типа:
Ну, что, дорогой ученик, ты знал об этом? А Вы, коллега, рассказываете об этом своим ученикам? И ещё я заметила, что сейчас не модно в кабинетах вешать таблицы (возможно, не вешают их в тех школах, которые являются пунктами проведения ЕГЭ/ОГЭ, ведь перед экзаменам их придётся снять или ещё как-то скрыть от глаз выпускников), а жаль! Ведь именно ученики 5-6 классов, видя перед глазами эту таблицу, о предназначении которой они пока не догадываются, легко обнаружат сами все эти закономерности!
