Это вторая статья, которая будет посвящена математике.
В этой статье я расскажу о знаке суммы в математике и как с ним работать.
В математике знак суммы обозначается так:
Этот знак используется для того, чтоб показать какую-нибудь повторяющуюся операцию. Например:
Да, не совсем чётко, но если меня будут читать - исправлюсь в следующих статьях и буду делать в высоком разрешении.
К теме. Этот значок значит сумму, с этом все понятно. Но что значит надписи сверху и снизу? Это отправные точки, которые будут нужны для того, чтоб понимать, что считать.
Допустим, начнем с n = 1 и закончим 5, как показано на рисунке выше.
Тогда у нас получится ряд, в котором n будет принимать все целые значения от начального (1) до конечного (5).
Так, например:
Мы будем суммировать все n от 1 до 5. Чтоб вы лучше поняли, как работает этот знак, то можно просто, чтоб вычислить значение такого ряда воспользоваться следующим алгоритмом.
В то, что находится в скобочках - это то, что мы суммируем.
Так, теперь подставляем, как я говорил раньше все целые числа от n = 1
до n = 5, получая, что:
n1 = 1; n2 = 2; n3 = 3; n4 = 4; n5 = 5;
Да и вообще, получаем, что любое nx = x; Когда цифра стоит после n, это будет в этой статье значить, что цифра является индексом для этого n.
Ну вот получили мы все n от 1 до 5 и что делать дальше?
Дальше мы их все суммируем, получая, что сумма (Которую я люблю обозначать как S) Будет: S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15; Так, мы посчитали нашу первую сумму. Приведу еще несколько примеров:
Там, где в скобках n**2 (Так обозначается квадрат числа) это первый пример, который мы разберем, остальные же вы посчитаете сами.
Поехали считать. Начиная с того, что n = 1 и заканчивая n = 2 подставляем:
n1 = 1**2; n2 = 2**2; Считаем, что n1 = 1; n2 = 4, получая S = 1 + 4 = 5;
Мы посчитали нашу вторую сумму.
Теперь о интересных вещах, связанных с суммами.
Начнем с того, что не любую сумму можно посчитать.
Допустим, есть такая сумма:
Такая сумма не может быть посчитана, так как:
n1 = 1; n2 = 2; ... ; nx = x; А конечное x - бесконечность, которая не является числом, так как противоречит аксиоме Архимеда о том, что в числовом ряду всегда есть число, которое больше и меньше чем любое, которое можно взять и что в принципе ряд чисел непрерывен. А что может быть больше бесконечности? Ничего, потому и это посчитать нельзя. Однако, есть математическое доказательство, что сумма натурального ряда будет равна -1/12. Да, оно реально доказано и, может быть, звучит глупо, но это так и есть. Это число (-1/12) используется для некоторых расчетов в математике. Но так же можно доказать (Математически, а не логически), что эта сумма не может быть посчитана. Этот признак в математике называется признаком сходимости Даламбера. На математическом языке это звучит так:
Большинству людей. не изучающих математику может быть не понятно, что значит эта запись, но если хорошо подумать, то она достаточно проста для понимания. Этот признак говорит, что, если мы возьмем какой-то член ряда, допустим
2 и 1 (Так как сверху n+1, а снизу n, то сначала берем какой-то член больше единицы, а потом тот, который следовал перед ним.) Так вот, единственное, что мы с вами сделали неправильно, так это взяли 2 и 1.
Видите там знак бесконечности? Он значит, что нужно брать какой-то дальний член, то есть первые члены брать нельзя. Поэтому берем далекие члены, да настолько далекие, что они будут бесконечны. Это не совсем так работает, мы не можем сравнивать так просто бесконечности, но получится, что сначала мы берем бесконечность + 1, а потом делим на бесконечность. Если вы разделите любое число на число, которое меньше первого на единицу, то получите число больше единицы. Например:
2/1=2;3/2=1.5 и так далее, но никогда это число не будет равно 1.
Итак получая, что бесконечность + 1 больше бесконечности (Математики, не бейте), мы делим большее на меньшее и получаем число, которое больше единицы, а значит, что сумму посчитать нельзя.
Так, теперь о некоторых суммах, которые можно посчитать, не расписывая все большим рядом.
Например, у вас есть ряд, который выглядит так:
Он уже не уходит в бесконечность, так как вверху число 5 (Для всех сумм, где число вверху есть, то его всегда можно посчитать, не считая тех случаев, когда получается что-то типа 1/0).
Так вот, в школьной математике такой ряд называется арифметическим.
И когда-то на уроке математике математики Гаусу и его одноклассникам было задано его посчитать. Но там было начальное число 1, конечное 100. Смогли бы вы за урок такое посчитать? Думаю, что вам бы надоело. Так вот Гаусс придумал, что можно это посчитать куда проще. Допустим, мы по умножим это все на два, но запишем второй счет наоборот.
Вот что мы получим. Если записать обратный порядок, то мы можем посчитать, что любое число в обратном порядке + любое число в нормальном равно n + 1
Например:
n + 1 = n + 1; 2 + (n - 1) = n + 1; 3 + (n - 2) = n + 1; Итак, у нас получились, что с ними делать дальше? Мы просто увидим, что их количество будет равно (Количество всех членов обратного и нормального ряда) равно n. А по элементарной математики ясно, что сумма одинаковых числел будет равна количеству слагаемых, умноженная на это число. получим, что этот ряд равен n*(n+1)
А так как мы в самом начале все умножили на 2, то теперь можно все поделить на 2. Получим:
Это значит, что сумма всех чисел от 1 до x равна последнему числу, умноженному на него в скобках + 1 и делить на 2.
Теперь разберем задачу, данную Гаусу.
Все числа от одного до 100. Последнее число равно 100, так как 1+2...+99+100; Значит мы умножаем ((100)*(100+1))/2 = (10100)/2 = 5050;
Ответ получился 5050. Вот так вот мы решили задачу, которую в свое время решил Гаусс.
Теперь о том, для чего этот знак вообще нужен и как он используется на практике.
Предназначение у него самое разнообразное. Например, используется он для того, чтоб вам выводились рекомендации на сайтах. Да-да, цифры виноваты в том, что когда-то вы нарвались на любимую игру или ютубера. Там все куда сложнее, но для понимания скажу, что сайт суммирует по особому алгоритму ваши предпочтения, выбирает то, что в сумме наибольшее и показывает вам. Так что, в интернете нет случайностей, так все основано на математике. Так же, эти суммы есть в геометрии, они используются для того, чтоб найти площадь чего-либо. (Потом, если вы напишите в комментарии я напишу, как именно). Так же используют их ваши телефоны. В программах некоторые алгоритмы суммируют код (Указатели) и поэтому программы работают. Так же физика. Там он используется, например, в первом законе Ньютона или наблюдениях Галилея.
Эта запись значит, что сумма всех сил, действующих на тело равна нулю.
Это справедливо для всех инерцианальных систем.
На этом я хочу закончить свою статью.
Источники:
Сивухин, курс физики, 1 том. (Механика).
Смирнов, курс высшей математики, 1 том, разделы с пределами и рядами. (Включая дополнения к рядам).
Википедия (Не источник, просто для доп. информации):
Признаки сходимости: https://ru.wikipedia.org/wiki/Признак_сходимости
Ряды: https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_(математика)
Не стесняйтесь критики по поводу правописания или неточности, ведь все мы тут ради знаний, а не погрязения во тьму.
