В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона AB равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем АМ = 2, SK= 1. Плоскость α перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку С.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.
Решение:
а) SO – высота пирамиды SABCD. Опустим из точки K перпендикуляр KHна плоскость ABCDи рассмотрим Δ KBH и Δ SBO.
Δ KBH ~ Δ SBO по двум углам (∠В – общий, ∠BKH=∠BSO (соответственные углы при KH || SO и секущей BS)). Значит, SK/KB = OH/HB → OH/HB = 1/6 = x/6x, где х – одна часть.
Точка О – центр основания, т.е. BO= DO = 7x.
Пусть прямая MH пересекает сторону ВС в точке F, сторону AD - в точке E. Рассмотрим Δ МАЕ и Δ MBF.
Δ МАЕ ~ Δ MBF по двум углам (∠EMA = ∠FMB (как вертикальные), ∠MAE =∠MBF = 90°) → AM/MB = EA/FB = 2/6 = 1/3 = y/3y, где у – одна часть.
Запишем теорему Менелая для ΔABD:
y = 8/3 → EA = y = 8/3 и BF = 3y = 8.
Но BC = 8 и BF = 8 → C = F → Плоскость α проходит через точку С.
б) Сечение пирамиды плоскостью α – ΔKMH.
Т.к. Δ KBH ~ Δ SBO, то KH = 6/7⋅SO
ΔSOB: SO² = SB² - OB² = 7² - (4√2)² = 17 → SO = √17 → KH = 6/7⋅√17
ΔCMB: CM² = BM² + BC² = 6² + 8² = 100 → CM = 10
