Давайте сначала договоримся, что отрезок АВ — это не отрезок ВА, т.е. у отрезка есть начальная и конечная точки, как математики говорят: «АВ — направленный отрезок». (Направленный отрезок — не совсем вектор, мы не будем складывать вектора, вычислять скалярное произведение, не будем на чертеже обозначать «стрелочки».)
А для чего нам нужны направленные отрезки? Все дело в том, что задания:
«отметить точку, которая делит отрезок АВ в отношении k : n» и
«отметить точку, которая делит отрезок ВА в отношении k : n»
дают разные результаты (разумеется, если k ≠ n).
На рис. 1. точка Р делит отрезок АВ в отношении 2 : 1.
Поскольку АВ — направленный отрезок (больше не будем это упоминать), то указывать подробности «... в отношении 2 : 1, считая от вершины А» не требуется.
Замечание. Если отношение, в котором делится отрезок АВ, больше 1, то точка-разделитель будет ближе в В, чем к А. Такое расположение (ближе к В) точки-разделителя используется в этой статье для удобства, но очевидно, что это не ограничивает общности рассуждений, как горят математики.
Поскольку точка Р расположена на отрезке АВ, можно упомянуть, что точка Р делит отрезок АВ внутренним образом, но обычно это отмечается лишь при наличии другого варианта делания отрезка (в утверждении, задаче) — внешним образом.
Деление отрезка внешним образом
Обратимся к рис.1.
Если специально сообщить читателю, что точка Q делит отрезок АВ в отношении 2 : 1, но «Q расположена на продолжении отрезка АВ», то на чертеже получим следующее расположение точек
Понятно, что в данном случае AB = BQ.
Итак, найти точку деления отрезка внешним образом — это расположить точку на продолжении исходного отрезка в соответствии с заданным отношением.
Несложная арифметика позволит вам вычислить, сколько долей исходного отрезка требуется отмерить влево (или вправо) от исходного отрезка (это 6-ой или даже 5-ый класс).
А зачем вообще математики фиксируют наше внимание на внутреннем и внешнем делении отрезка? Ответ на этот вопрос — обобщение. Математики почти всегда стараются обобщать доказанные утверждения!
Рассмотрим пример простейшего обобщения:
AP : PB = AQ : QB — данная пропорция определяет то, что точки P и Q делят отрезок внутренним/внешним образом, причем какая точка и как делит не определяется!
Еще одно обобщение: запишем последнее соотношение в другом виде:
QB : BP = QA : AP — а эта пропорция определяет, что отрезок QP делится точками А и В в одно и том же отношении внутренним/внешним образом.
Использование деления отрезка внешним образом
В каких утверждениях применяется деление отрезка внутренним/внешним образом?
1) Основное свойство биссектрисы (должно быть известно всем, кто готовится к профильным ОГЭ или ЕГЭ).
2) Обобщенная теорема Менелая (для треугольника).
3) Обобщенная теорема Чевы и многих-многих других.