Была ли математика открыта или изобретена, обсуждается со времен древнегреческого философа Протагора, жившего в V в. до н. э.
Две позиции; конечно, если «двойка» существует
Согласно первой позиции, все законы математики, все уравнения, которые мы используем для описания и предсказания событий, существуют независимо от человеческого интеллекта. Это означает, что треугольник — это независимая сущность, и сумма его углов на самом деле равна 180 градусам. Математика бы существовала, даже если бы человечество не использовало ее, и продолжит существовать после того, как мы исчезнем.
Эти взгляды разделял итальянский математик и астроном Галилей, он полагал что математика — это «истина».
Она здесь, но мы не можем увидеть ее отчетливо
Древнегреческий философ и математик Платон предположил в начале IV в. до н. э., что все, что мы ощущаем посредством наших чувств — это несовершенные копии чистых идей. То есть каждая собака, каждое дерево, каждый акт милосердия — это немного искаженная или ограниченная версия их идеи, «сущностных» собаки, дерева или акта милосердия. Будучи людьми, мы неспособны видеть идеи, которые Платон называл «формами», но только их копии, с которыми мы сталкивается в повседневной «реальности». Мир вокруг нас постоянно меняется и полон изъянов, но царство форм совершенно и неизменно. Математика, согласно Платону, обитает в царстве форм.
Хотя мы не можем видеть мир форм непосредственно, мы можем приблизиться к нему посредством разума. Платон сравнивал реальность нашего опыта с тенями, отбрасываемыми на стену пещеры фигурами, проходящими перед огнем. Если вы находитесь в пещере лицом к стене (по сценарию Платона, прикованные цепями так, что невозможно обернуться), эти тени — это все, что вам известно, и поэтому вы полагаете, будто они и есть реальность. Но на самом деле, реальность — это фигуры рядом с огнем, а тени — их бледные копии.
Платон считал математику частью вечной истины. Математические законы — «вовне» и могут быть открыты посредством разума. Они управляют Вселенной, и наше понимание Вселенной зависит от их открытия.
А что, если мы ее придумали?
Другая основная позиция заключается в том, что математика — это продукт наших попыток понять и описать мир, окружающий нас. С этой точки зрения, утверждение, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, — лишь соглашение, вроде того, как черные туфли считаются более официальными, чем розовые. Это соглашение, потому что мы сами дали определение треугольнику, определили градус (и саму идею градуса) и, вероятно, придумали и «180» тоже.
Во всяком случае, если математика — это продукт мысли, меньше вероятность ошибки. Как мы не можем сказать, что слово «дерево» — не правильное слово для обозначения дерева, также мы не сможем утверждать, что придуманная математика ошибочна. Однако возможна плохая математика, которая просто не будет работать.
Инопланетная математика
Являемся ли мы единственными разумными существами во Вселенной? Давайте предположим, хотя бы на мгновение, что нет.
Если математика — это результат открытий, то инопланетяне с математическими наклонностями откроют ту же математику, которую используем мы, что сделает осуществимой коммуникацию с пришельцами. Они могут представлять математику по-другому, например, использовать другое основание для системы счисления, но их математическая система будет описывать те же законы, что и наша.
Если же мы придумали математику, нет ни одной причины полагать, что инопланетный разум посетит нас с той же математикой. Напротив, это будет довольно удивительно, если такое произойдет. Настолько же удивительно, как если бы оказалось, что они говорят по-китайски, или на аккадском, или на языке касаток. Ибо если математика — это всего лишь код, помогающий нам описывать и работать с реальностью, то она подобна языку. Ничто не делает слово «дерево» истинным означающим для объекта, являющегося деревом. У инопланетян будет другое слово для «дерева», когда они его увидят. Если нет ничего «истинного» в эллиптической орбите планет, или в математике ракетостроения, инопланетный разум, вероятно, увидит и опишет эти явления в совсем других терминах.
Как удивительно!
Возможно, это удивительно, что математика так хорошо подходит для описания мира, а возможно, это неизбежность. Аргумент об удивительности на самом деле не говорит в пользу ни одного из взглядов. Если мы изобрели математику — мы создали что-то, что адекватно описывает окружающий мир. Если же мы открыли ее — она, очевидно, будет соответствовать окружающему миру, ибо она будет «правильной» как нечто, превосходящее нас. Математика «так превосходно описывает реальные объекты» либо потому, что истинна, либо потому, что была для этого создана.
Осторожно, сзади!
Другое объяснение того, что математика кажется удивительно походящей для отражения реального мира, заключается в том, что мы обращаем внимание только на те части, которые работают. Это все равно что рассматривать совпадения как свидетельства того, что происходит нечто сверхъестественное. Да, это действительно удивительно — наткнуться на приятеля в малоизвестной деревне в Индонезии, куда вы заехали во время отпуска, но только потому, что вы не думали о том, что вы и другие люди постоянно куда-то ездили и не сталкивались с кем-то знакомым. Мы обращаем внимание только на что-то примечательное; обыкновенные события проходят незамеченными. Таким же образом, никто не ставит в вину математике неспособность описать структуру снов. Между прочим, было бы логично рассмотреть список сфер, где математика терпит неудачу, если мы хотим оценить уровень ее успеха.
«Необъяснимая эффективность математики»
Если математика — продукт нашего разума, то как мы объясним тот факт, что некоторые сферы математики, развивавшиеся без связи с применением в реальном мире, описывают то, что выясняется спустя десятилетия или века после их формирования, явления реальные?
Как отметил в 1960 г. американский математик венгерского происхождения Юджин Вигнер, существует много примеров, когда математика развивалась для одной цели или же вообще без цели, а позже было обнаружено, что она описывает явления естественного мира с великой точностью. Один из примеров — теория узлов. Математическая теория узлов изучала сложные узелковые формы, в которых оба конца соединены. Она была разработана в 1770-х гг., но сейчас используется для объяснения того, как расплетаются цепочки ДНК (материал наследования), чтобы создать свои копии. Существуют и контраргументы. Мы видим лишь то, на что смотрим. Мы выбираем вещи, которые хотим объяснить, и выбираем те, которые можно объяснить имеющимися в нашем распоряжении средствами. Возможно, эволюция заставляет нас думать математически, и мы ничего не можем с этим поделать.
Это имеет значение?
Если вы просто подсчитываете хозяйственные расходы или проверяете счет в ресторане, не имеет особого значения, является ли математика результатом открытий или же изобретений. Мы пользуемся согласованной математической системой, и она работает. Так что мы можем, в сущности, «сохранять спокойствие и продолжать считать».
Для фундаментальной математики это вопрос скорее философского характера, чем практического интереса: имеет ли она дело с великими тайнами, которые определяют материю Вселенной?
