Теория струн (суперструн) – это направление математической физики, изучающее (с начала 1970-х годов) динамику и взаимодействия так называемых квантовых струн. Теорию струн для широкой публики прекрасно описывает мировой бестселлер (!) Грина Брайана (род. 1963), «Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории» (М.: Едиториал УРСС, 2004 г.).
«Теория всего» – так можно назвать теорию струн, ибо все события во Вселенной являются отражением одного великого физического принципа. И это – не конец науки, а её начало; прочный фундамент (основание, точка опоры) для строительства нашего понимания мироздания. Теория струн – мощная парадигма (совокупность) понятий о пространстве-времени, возможно, выводящая нас на финишную прямую; она впервые дает изящные ответы на самые фундаментальные вопросы. Однако, несмотря на математическую строгость и целостность теории, пока не найдены варианты экспериментального подтверждения теории струн, теория оказалась в «экспериментальном вакууме». Но развитие теории струн продолжается, и есть надежда, что недостающие элементы струнных теорий и соответствующие феномены будут найдены в ближайшем будущем, в том числе в результате экспериментов на суперколлайдере LHC – Большом адронном коллайдере (БАК) под Женевой.
А теперь мы слегка «коснемся» только одной единственной формулы из теории струн. Известный популяризатор теоретической физики, американский учёный Митио Каку (р. 1947 г.) ещё в 1988 году написал книгу о теории струн, которая в 1999 году была издана и на русском языке (М. Каку, Введение в теорию суперструн. М.: «Мир», 624 стр.) тиражом 3000 экз. Однако уже вот эту книгу «широкая публика», вообще говоря, не поймет (требуются основательные знания математики и физики). Но ниже речь пойдет только об одной единственной формуле из книги Каку (и многие из читателей данный материал вполне осилят?).
Итак, в указанной книге Каку на стр. 614 (в Приложении, в параграфе под названием «Словарик терминов») есть такой абзац (правда, формулу я здесь привожу в моих обозначениях, курсив также мой): «Функция распределения имеет вид
F(x) = [(1 – х^1)(1 – х^2)(1 – х^3)(1 – х^4)(1 – х^5)…(1 – х^n)…]^(–D). (1)
При D = 1 коэффициент при х^n дает распределение, отвечающее целому числу n. Эта функция не только определяет число состояний струнной модели на уровне n, но также управляет расходимостью однопетлевой амплитуды.»
По-своему поясню, приведенный текст: в теории струн функция распределения F(x) – это произведение бесконечного количества членов вида (1 – х^n)^(–D), где n = 1, 2, 3, 4, 5, …, (до бесконечности). Причем при D = 1 каждый член этого произведения принимает вид 1/(1 – х^n), а сама функция распределения определяет некие важнейшие параметры квантовой струны. Итак, в части «струнного» смысла формулы (1), нам достаточно уяснить, что функция распределения (указанное произведение) определяет, скажем, самую глубинную структуру мироздания (с математических позиций теории струн).
Так вот, в связи с формулой (1) я вспомнил следующее бесконечное произведение (о нем не раз писал в своих книгах):
П = (1 – х^1)(1 – х^2)(1 – х^3)(1 – х^4)(1 – х^5)… (1 – х^n)… , (2)
где аргумент х рассматривается на интервале от 0 до 1, а n = 1, 2, 3, 4, 5, …, (до бесконечности). Впервые данное произведение изучил Леонард Эйлер (1707–1783) – один из величайших математиков, автор более чем 800 научных работ (и такой «плодовитости» никто из математиков не достиг, даже без учета фундаментальной важности многих работ Эйлера). В одном из своих мемуаров Эйлер впервые указал на то, что произведение (2) равно следующей бесконечной сумме (S) (где аргумент хиз того же интервала, что и в произведении П):
S = 1 – х^1 – х^2 + х^5 + х^7 – х^12 – х^15 + х^22 +х^26 – х^35 – х^40 + … . (3)
Более того, исходя из заявленного равенства П = S, Эйлер написал удивительный мемуар, который назвал «Открытие наиболее необычайного закона чисел, относящегося к суммам их делителей». Как видно из названия мемуара найденный закон поразил даже самого Эйлера. Ниже я опишу этот закон, но перед этим введу нехитрое обозначение: пусть б(N) – это сумма всех целых делителей натурального числа N. Например, у числа N = 21 есть всего четыре целых делителя: 1, 3, 7, 21, поэтому получаем б(21) = 1 + 3 + 7 + 21 = 32, а в рамках числофизики (моей игры-гипотезы) мы также будем говорить, что богатство числа N = 21 равно 32, то есть б(21) = 32. Очевидно, что у всякого натурального числа N есть богатство – это сумма всех целых делителей числа N, богатство – это один из многих параметров всякого натурального числа N.
Ну а теперь напишу «наиболее необычайный закон чисел» на строгом языке математически:
б(N) = б(N –1) + б(N – 2) – б(N – 5) – б(N – 7) +
+ б(N–12) + б(N–15) – б(N–22) – б(N–26) +
+ б(N–35) + б(N–40) – б(N–51) – б(N–57) +
+ б(N–70) + б(N–77) – б(N–92) – б(N–100) +…, (4)
или в короткой записи (в терминах и обозначениях виртуальной космологии):
б(N) = ∑ [Z∙б(N – E)], (5)
где Z = +1 или Z = –1 и знак у «переключателя» Z (плюс или минус) попарно чередуется (и вплоть до бесконечности);
E = 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, …– ряд Эйлера (Euler), который легко «расшифровывается», если обратить внимание на разности чисел в нём: 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6, 13, 7, 15, 8, …, то есть все натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … и все нечетные числа 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …. чередуются между собой.
В формулах (4) и (5) для конкретного натурального числа N необходимо брать те слагаемые, у которых разность (N – E) под знаком «б» положительна («отсекая» все отрицательные разности). Причем, вместо выражения б(0) необходимо подставить… само число N, то есть богатство нуля – далеко не нуль(и разве это не повод удивиться!?). Таким образом, закон Эйлера (4) говорит о том, что богатство любого натурального числа N равно сумме богатств предшествующих чисел, взятых по определенному правилу.
Для примера найдем богатство числа N = 15 с помощью закона Эйлера:
б(15) = б(15–1) + б(15–2) – б(15–5) – б(15–7) + б(15–12) + б(15–15) =
= б(14) + б(13) – б(10) – б(8) + б(3) + б(0) = 24 + 14 – 18 – 15 + 4 + 15 = 24.
Разумеется, чтобы вычислить б(14), нам необходимо было вычислить б(13), а перед этим – б(12), б(11), б(10) и т. д. вплоть до б(1) = 1. Таким образом, здесь мы имеем дело с рекуррентной последовательностью, где каждое слагаемое определяется по неизменному правилу исходя из предыдущего слагаемого. И если бы закон Эйлера оказался единственной возможностью для нахождения богатства натуральных чисел (к счастью есть ещё, например, формула Джона Валлиса), то для определения богатства конкретного числа N нам бы пришлось найти богатство всех предшествующих (N – 1) чисел, начиная с единицы. Очевидно, что закон Эйлера дает далеко не лучший практический способ определения богатства числа. Прелесть данного закона в «механизме» его вывода (где «угадывается рука» настоящего гения) и в интересных следствиях из него. Например, вызывает восхищение сам факт существования бесконечного ряда чисел Е, которые «увязывают» (словно единым шнурком) богатство любого числа N с богатством всех предшествующих чисел (что приводит нас к аналогии с явлением «бутстрапа» из физики). Однако сам Эйлер, вероятно, недооценил важность открытого им закона (по причине отсутствия в его эпоху теории струн?), поскольку Эйлер писал: «…мы не чувствуем никакой разумной связи между структурой моей формулы [4] и природой делителей, с суммой которых мы имеем здесь дело. Последовательность чисел 1, 2, 5, 7, 12, 15,… [то есть ряд чисел Е], казалось бы, не имеет к рассматриваемому вопросу никакого отношения. Более того, поскольку закон этих чисел «прерывист» и они фактически являются смесью двух последовательностей с правильным законом: 1, 5, 12, 22, 35, 51, … и 2, 7, 15, 26, 40, 57, …, мы не могли ожидать, что такая неправильность может встретиться в Анализе” [в математическом анализе]. Последние слова Эйлера (про «смесь») можно пояснить так: если ввести обозначение m = 1, 2, 3, 4, 5, … в качестве порядковых номеров числа Е (в ряду Эйлера), то при нечетных m = 1, 3, 5, 7, … и четных m = 2, 4, 6, 8, … соответственно имеем:
E = (3/8)*m^2 + (1/2)*m + (1/8) и E = (3/8)*m^2 + (1/4)*m, (6)
то есть при росте номера m формулы (6) «генерируют» две последовательности чисел, а ряд Е является их чередующейся «смесью».
Указанный мемуар Эйлера с его изящным выводом закона (4); а также удобная на практике формула Джона Валлиса (1616–1703 гг.) для вычисления богатства любого натурального числа N (если известно его каноническое разложение); а также закономерности распределения богатства в ряду всех натуральных чисел и т.п. – все это более подробно изложено в моих книгах («Леонард Эйлер и космология чисел», 2003 г.; «Зеркало» Вселенной» 2004 г.). А в данной короткой статье я просто хотел обратить внимание читателя на тот факт, что функция распределения F(x) из (физической) теории струн похожа на произведение П, которое приводит Эйлера к «наиболее необычайному закону» в мире натуральных чисел. Лично для меня это факт является очередным аргументом, подтверждающем, что главная «миссия» натуральных чисел (общеизвестной теории чисел) – это далеко не только… криптография(нумерологию и т.п. «учения» здесь даже неуместно упоминать). Вполне может оказаться, что мир натуральных чисел, действительно, скрывает в себе самые фундаментальные основы мироздания (возможно, в некотором «зашифрованном», «иносказательном» виде). И в любом случае виртуальный мир чисел дает богатейшую пищу для самых глубоких размышлений не только математикам, но и физикам, и философам (последнее «предчувствовал», например, Пифагор ещё 2500 лет назад), и даже, если хотите, … экономистам, политологам, политикам и прочим специалистам по самой, что ни на есть реальной жизни. Однако это долгий разговор, который (в самом лучшем случае) вызовет только ироническую улыбку неподготовленного человека…
© А. В. Исаев, 2011
