В статье "Не так и сложен стабилитрон, хотя не так и прост" я не мало внимания уделил дифференциальному сопротивлению, но с точки зрения объяснения его влияния на работу стабилитрона. Однако оказалось, что нуждается в пояснении само понятие дифференциального сопротивления. Вот об этом и поговорим. Как и во всех статьях для начинающих, математики будет не много, а для понимания достаточно знаний в объеме средней школы.
Сопротивление, нелинейное сопротивление, проводимость
Что такое сопротивление изучают в курсе физики средней школы. Я не сомневаюсь, что это известно абсолютно всем. Как и закон Ома
R = U / I
С точки зрения математики, связь между напряжением, током и сопротивлением линейная. А на ВАХ (Вольт Амперная Характеристика) график этой зависимости прямая линия проходящая через начало координат.
Чем более вертикально проходит (для этой иллюстрации), тем меньше сопротивление. В данном случае
R1 < R2 < R3
Немного позже, уже при изучении переменного тока, школьники узнают о реактивном сопротивлении катушек индуктивности и конденсаторов. Их реактивное сопротивление зависит от частоты, но зависимость между током и напряжением остается по прежнему линейной.
При знакомстве с полупроводниками школьники сталкиваются с нелинейной зависимостью между током и напряжением для P-N перехода.
С точки зрения физики этот график тоже отображает сопротивление (зависимость между током и напряжением), но уже нелинейное. Нелинейной характеристикой обладает и электрический разряд в газах. Существуют и сопротивления зависящие от приложенного напряжения - варисторы. При этом нужно отметить, что термисторы и фоторезисторы не являются нелинейными сопротивлениями, так как величина их сопротивления зависит не от напряжения и тока (зависимость остается линейной), а от иных факторов, температуры и освещенности.
Да, я знаю про NTC и PTC термисторы. Но они не являются темой статьи.
Обратная к сопротивлению величина называется проводимостью.
G = I / U
Единицей проводимости является Сименс (См).
Аппроксимация
ВАХ не всегда являются графиками аналитических функций. Не редко это результат измерений и подобрать аналитическую функцию затруднительно. Или эта функция является слишком сложной.
Кроме того, параметры полупроводниковых приборов (да и вообще электронных компонентов) имеют естественный разброс, иногда довольно значительный. Поэтому точный график требуется далеко не всегда. Обычно нужна некая усредненная кривая, которая отражает типовой случай.
В таких случаях реальную кривую ВАХ делят на несколько частей и подбирают для каждой части функцию, которая является достаточно простой, но ее график может не полностью совпадать с реальностью, а давать некоторую (малую) погрешность. Это называется аппроксимацией.
Есть разные методы аппроксимации, но их изучение уведет нас далеко от темы статьи. Поэтому я остановлюсь на одном, наиболее простом методе - кусочно-линейной аппроксимации. Это замена сложной кривой отрезками прямых линий. Давайте посмотрим, как это будет выглядеть для нашего случая прямой ветви ВАХ диода
Здесь красным цветом показана реальная кривая, а отрезками черного цвета ее аппроксимация. Реальная кривая разделена точками (U1,0), (U2,I2), (U3,I3), (U4,I4) на части, которые и заменены отрезками прямых. Понятно, что чем короче эти отрезки, и чем их больше, тем точнее результат аппроксимации соответствует реальности.
Обратите внимание, что эти отрезки, хоть они и не проходят через начало координат, являются графиками постоянных сопротивлений. Тут нет никакого нарушения. Просто, хоть это и не очевидно, сопротивление на ВАХ соответствует углу между осью абсцисс и прямой линией зависимости между током и напряжением.
Если вы не очень уверены в своих знаниях математики, прочитайте статьи "Этюд о координатах" и "Сага о треугольниках"
На этот угол не влияет сдвиг графика относительно координатных осей. Просто при сдвиге катетом будет являться не ось координат, а отрезок параллельной ей прямой. Однако я понимаю, что преобразования координат и тригонометрия не вызывают восторга у многих. Поэтому я поступлю проще. При этом я опущу вспомогательные преобразования.
Давайте возьмем отрезок ограниченный точками (U2,I2) и (U3,I3). Разместим вспомогательную систему координат U'-0-I' в начальной точке этого отрезка. В этой вспомогательной системе координат точка (U2,I2) станет началом координат, а точка (U3,I3) будет иметь координаты (U'3, I'3). Теперь хорошо видно, что отрезок действительно соответствует ВАХ линейного сопротивления.
Мы можем спокойно работать в этой вспомогательной системе координат. А если потребуется пересчитать координаты между основной и вспомогательной системами, то используются простейшие соотношения
U'3 = U3 - U2
I'3 = I3 - I2
Теперь мы очень близко подошли к понятию дифференциального сопротивления. Осталось сделать один простой шаг.
Дифференциальное сопротивление
По графику ВАХ можно узнать какому току какое напряжение соответствует, и наоборот, для любой точки. Это будут абсолютные значения тока и напряжения.
Но есть и другая задача, определить, насколько изменится ток при изменении напряжения. Для линейного сопротивления все просто, а для нелинейного мы можем воспользоваться ранее рассмотренной аппроксимацией. Для упрощения будем рассматривать случай, когда величина изменения полностью укладывается на одном отрезке кусочно-линейной аппроксимации. В противном случае просто придется разбивать диапазон изменений на несколько частей, что не повлияет на результат, но излишне усложнит пример.
Давайте посмотрим, как изменится ток при изменении напряжения от U2 до U3 нашего примера ВАХ диода. Достаточно очевидно, что
Иллюстрация кажется сложной? Не пугайтесь, на самом деле все просто. Изменение напряжения это разность двух отрезков по оси напряжений. Просто начала этих отрезков лежат в начале координат, что и позволяет нам записать привычное
ΔU = U3 - U2
В общем случае, напряжения могут отсчитываться не от нулевого уровня, а от некоторого U0. Напомню, что напряжение это разность потенциалов.
ΔU = (U3 - U0) - (U2 - U0) = U3 - U0 - U2 + U0 = U3 - U2
Зачем так сложно? Это не сложно, это иллюстрирует, что разность напряжений не зависит от точки отсчета. И для нас это важно. И именно это позволило нам так легко ввести вспомогательную систему координат.
Аналогично для тока. Величина изменения тока будет
ΔI = I3 - I2
В пределах нашего отрезка сопротивление будет постоянно и равно R23 (между точками 2 и 3).
ΔI = ΔU / R23
Обратите внимание, здесь здесь речь идет о сопротивлении между двумя точками. Это несколько отличается от просто сопротивления. На самом деле даже не важно, какая именно аппроксимация используется, и используется ли вообще.
Я уже говорил, что чем меньше аппроксимирующие отрезки, тем точнее результат аппроксимации. При длине отрезков стремящейся к нулю мы уже можем говорить не о сопротивлении между двумя точками, а о сопротивлении в данной точке, поскольку точки становятся неразличимыми. Причем совсем не обязательно точки на прямой, но и точки на кривой.
Вот это сопротивление в данной точке и называется дифференциальным сопротивлением
С математической точки зрения это производная от U по I. Я так много внимания уделил кучочно-линейной аппроксимации неспроста. В этом случае у нас дифференциальное сопротивление будет некоторой константой для каждой точки. Именно числовое значение и приводится в справочниках на электронные компоненты.
Графически, дифференциальное сопротивление это касательная к кривой ВАХ в данной точке. Помните, я приводил иллюстрацию, где сопротивление определялось как угол? Дифференциальное сопротивление как раз и определяет для заданной точки угол наклона касательной к оси абсцисс.
Приближенно можно рассчитать дифференциальное сопротивление так, как я показывал на примере R23. То есть, взяв две не очень далеко расположенные точки на графике ВАХ.
Точно так же, как проводимость является обратной величиной к сопротивлению, существует и дифференциальная проводимость, которая обратна дифференциальному сопротивлению.
По графику ВАХ можно найти соответствие тока и напряжения для любой точки. Дифференциальное же сопротивление позволяет определить величину изменения напряжения при изменении тока (и наоборот), а не абсолютные значения. Это самое важное отличие дифференциального сопротивления от просто сопротивления.
Заключение
Понятие дифференциального сопротивления может показаться сложным и непонятным, но на самом деле является довольно простым. Надеюсь, теперь у вас получилось во всем разобраться.
До новых встреч!
