В центре однородного небесного тела гравитации нет, правильно? Тогда откуда там большое давление? Давайте выясним.
Оглавление рубрики "Гравитация..."
Пусть планета состоит из несжимаемой жидкости (пока, для простоты). И мы в супербатискафе хотим погрузиться в ее центр.
Вообще, если плотность тела больше, чем плотность малосжимаемой жидкости вроде воды, то оно будет тонуть: что в луже, что в океане. Ошибку сделал даже классик научной фантастики Жюль Верн, у которого "корабли догнивали, свободно вися в воде". Плотность воды зависит весьма слабо от температуры, солености и давления; хотя зависит, и это учитывается, так как относительная разница плотности важна. Но для батискафа это без разницы, он так и так дойдет до центра!
Расслоим толщу планеты радиусом R на слои толщиной dr, весьма тонкие. И рассмотрим слой от r до r+dr. Всё, что выше, не притягивает, это мы уже обсуждали. Все, что ниже — а это шарик радиуса r — притягивает, причем как точка той же массы в центре. До этой точки расстояние r, масса ее пропорциональна r³, так что ускорение свободного падения пропорционально r³/r²=r.
Получаем важный вывод: ускорение свободного падения на любой глубине получается из ускорения g свободного падения на поверхности как gr/R. Разумеется, при постоянной плотности!
Теперь выберем кусочек тонкого слоя, площадью S. Поскольку он тонкий, то его можно считать плоским, и тогда его объем равен Sdr, а масса равна ρSdr, где ρ — плотность. Его вес оказывается равен ρgr/RSdr, а давление на нижлежащие слои dP=ρgr/Rdr.
Давления складываются, и, переходя к пределу при dr→0, мы получаем интеграл:
Здесь H — расстояние до центра на желаемой глубине. Если H=0 (центр), получаем давление ρgR/2. Средняя плотность Земли 12-13 тонн на куб.м., радиус около 6400 км. Получаем давление в 4 миллиона атмосфер. Точное значение около 3.6 млн атм. Неплохо! Это я еще g прнял за 10 м/с².
Если же H=R-h, то есть совсем неглубоко, то величиной h/R можно пренебречь сравнительно с единицей и получим P=ρgh: школьная формула! Точная формула
Получается, что в центре гравитации нет и можно прикольно полетать в батискафе, отталкиваясь ногой от стенки. А стенки в это время стонут от нагрузки, потому что давление немного большое.
Теперь рассмотрим случай переменной плотности. Он резко сложнее. Если плотность зависит от расстояния до центра и нам известна это зависимость, то мы вынуждены вычислять массу M(r) шарика радиуса r, интегрируя плотность, умноженную на площадь сферы: ρ∙4π r²dr. Если это удастся сделать аналитически, то вес кусочка слоя на поверхности этого шарика есть GM(r)ρ(r)Sdr, а давление dP такое же, но без множителя S. И от этого выражения надо взять интеграл.
В учебнике такая задачка может быть, и она решается. В реальности — только численно.
Но плотность обычно не задается как функция глубины, а вычисляется из уравнения состояния. Если мы возьмем для простоты уравнение идеального газа, то там плотность пропорциональна давлению. Тогда получается, что мы определяем давление через плотность, которая от него зависит. То есть, составляем уравнение. Оно дифференциальное, довольно сложное, нелинейное — даже для простейшего случая идеального газа! Но численно решается.
Давайте напоследок рассмотрим случай твердой планеты постоянной плотности. В целом-то никакой разницы нет, только в твердом теле напряжения могут не релаксировать, накапливаясь внутри. Иными словами, можно прорыть шахту до центра и прикольно полетать там от стенки к стенке: там же невесомость. Если выкопать шарообразую выемку, то в ней будет почти невесомость; давление на своды огромное, но если они держат — то и прекрасно. Можно расширять пещеру, отламывая куски от свода. Веса у них не будет, так что не проблема их оттаскивать.
Пусть вся планета из льда; мы будем отламывать от свода куски, оттаскивать их в сторонку и там растапливать и испарять. Пар будет заполнять пещеру, но наружу не выйдет. Продолжая, мы выдолбим планету, так что у нее будет ядро из пара той же массы и с той же гравитацией. И с большим давлением...
Придется оттуда убираться, оставив работать роботов. Роботам непросто будет летать от стенки к стенке, потому что накопленный пар будет гравитировать, затянув их в центр.
Но роботы доведут дело до конца, нагревая пар, так что он растопит и испарит лед. Вся планета превратится в газовый шар из пара с роботами в центре, которые его подогревают.
Могут и не подогревать, остывать-то в космосе некуда. Излучение уносит очень мало энергии при низкой температуре. Но, еще самые быстрые молекулы могут улетать в космос, снижая среднюю энергию. Газовая планетка будет существовать, пока солнечный ветер не уменьшит ее массу и она не рассосется.
Вот так устроен мир. До встречи!
