История алгебры
Термин «алгебра» произошёл от названия знаменитой работы Аль-Хауаризмий (Аль-Хорезми) «Аль-китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр уаль-мукабаля» — «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы», посвященной решению линейных и квадратных уравнений. Слова «аль-джабр» и «аль-мукабаля», стоящие в заглавии алгебраического трактата, означали две простейшие алгебраические операции при решении уравнений. От слова «аль-джабр» и произошел термин «алгебра» а Аль-Хауаризмий считается «отцом алгебры», то есть основателем алгебры как самостоятельной математической дисциплины. Хотя решение отдельных алгебраических задач было известно и раньше, именно Аль-Хауаризмий впервые представил алгебру как науку об общих методах решения числовых линейных и квадратных уравнений, дал классификацию этих уравнений.
Алгебраический трактат был в числе первых сочинений по математике, переведенных в Европе с арабского языка на латынь. Он сыграл чрезвычайно важную роль в развитии математики в Европе.
В отличие от геометрической алгебры греков, предполагавшей использование громоздких и неудобных методов, основанных на построениях с помощью циркуля и линейки, в основу теории линейных и квадратных уравнений Аль-Хауаризмий положил не геометрические, а арифметические соображения. Освободившись от неудобств, связанных с геометрическим языком, алгебра как наука получила возможность быстрого развития.
Мухаммад ибн Муса Аль-Хауаризмий (Аль-Хорезми)
(ок.780 — ок.850) — великий математик, астроном и географ, основатель классической алгебры. В настоящее время установлено, что Аль-Хауаризмий был автором 9 сочинений, из которых до нас дошло только семь — в текстах, принадлежащих либо самому Аль-Хауаризмий, либо его средневековым комментаторам. Две самые его известные книги по математике — «Книга об индийском счете» по десятичной арифметике и алгебраический трактат «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы».
Известный историк науки Джордж Сартон назвал Аль-Хауаризмий «величайшим математиком своего времени и, если принять во внимание все обстоятельства, одним из величайших всех времен».
Известный ученый С. Гандц писал: «Произведения Хорезми — начало европейской науки».
Итальянский исследователь Филипп Гитти писал о нем: «Хорезми был главной фигурой в ранней истории арабской математики. Будучи одним из величайших умов в истории Ислама, он повлиял на развитие математической науки более чем кто-либо из средневековых ученых» (Филипп Гитти «История арабов»).
А также: «В 12 столетии она (т.е. книга Аль-Хауаризмий по алгебре) была переведена на латынь Джерардом Кремона и до 16 века являлась основным учебником по математике в европейских университетах. Благодаря ему появляется предмет и слово «алгебра» (ал-джабр), впервые использованные и разработанные им, в мировой науке внедряется арабская система цифр и появляется теория алгоритма, представляющая транслитерацию его имени. Математические труды Аль-Хорезми оказали глубокое влияние на работы таких знаменитых математиков средневековья, как Омар Хайям, Леонардо Фибоначчио из Пизы и мастер Якоб из Флоренции».
История тригонометрии
Тригонометрия как наука о соотношениях между углами и сторонами треугольника и других геометрических фигур долгое время была частью астрономии, а также использовалась в геодезии и архитектуре.
Мусульманские ученые внесли большой вклад в развитие тригонометрии, в частности сферической. Их интерес к этой области определяли задачи астрономии и геодезии, основными из которых были:
— точное определение времени суток;
— вычисление будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений солнца и луны;
— нахождение географических координат текущего места;
— вычисление расстояния между городами с известными географическими координатами; определение направления на Мекку (кыблы) из заданного места.
Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат Аль-Хауаризмий и Аль-Маруазий (9 в.), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс.
Основные соотношения между всеми шестью функциями привёл Аль-Баттаний в том же столетии. Окончательной унификации добился Абуль-Уафа во второй половине 10 в., впервые использовав для определения тригонометрических функций круг единичного радиуса, как это делается в современной математике.
Сабит бин Гурра (9 в.) и Аль-Баттаний (10 в.) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абуль-Уафа, Аль-Худжандий и Ибн Ираком Аль-Джадий в конце 10 в. В другом трактате Ибн Ирака Аль-Джадий сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника.
Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в исламских странах не была, однако в трудах Сабита бин Гурры, Аль-Баттаний и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения. Вероятно, поэтому европейский математик Региомонтан1, впервые давший общую формулировку этого важного соотношения (15 в.), назвал его «теоремой Альбатегния» (так тогда в Европе называли Аль-Баттаний). Ибн Юнус (10 в.) открыл преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.
Таким образом, к концу 13 в. были открыты базовые теоремы, составляющие содержание тригонометрии:
- выражение любой тригонометрической функции через любую другую;
- формулы для синусов и косинусов кратных и половинных углов, а также для суммы и разности углов;
- теоремы синусов и косинусов;
- решение плоских и сферических треугольников.
Из-за отсутствия алгебраической символики все перечисленные теоремы выражались в громоздкой словесной форме, но по существу были полностью эквивалентны современному их пониманию.
Первым специализированным трактатом по тригонометрии было сочинение среднеазиатского учёного Аль-Бируний (9-10 в.) «Книга ключей науки астрономии». Целый курс тригонометрии содержал главный труд Аль-Бируний — «Канон Мас’уда» (книга III).
Первая в Европе книга по тригонометрии появилась через полтысячелетия! Это было сочинение Региомонтана «О всех видах треугольников» (1462-1464). Она состояла из 5 книг, и ее значительная часть опиралась на работы мусульманских ученых, в частности Аль-Баттаний и Ат-Тусий.
________________________________
1 Региомонтан (подлинное имя — Иоганн Мюллер) (1436-1476) — выдающийся немецкий математик и астроном.
