Он нес книгу... подмышкой?.. под мышкой?.. или вообще под-мышкой?...
Во-первых, что такое «мышка», под которой кто-то что-то несет? Мышка – это мышца под плечевым сгибом. То есть нет ничего странного в выражении «под мышкой», это как «под головой», «под рукой» или «под сердцем». Но! Данное выражение – это не существительное с предлогом (в обычной речи мы не используем слово «мышка» в таком значении), а наречие (является обстоятельством места – где?), образованное от существительного с предлогом.
Запомните: пишется оно раздельно – под мышкой.
Почему же «наверх», «вблизи» и «сбоку» мы пишем слитно, а «под мышкой» раздельно? Дело в том, что «мышка» в составе этого наречия сохранила некоторые свои падежные формы (то есть может использоваться в разных падежах): «под мышки», «под мышкой», «под мышками». Такие наречия (в составе которых существительные сохранили не одну падежную форму) пишутся раздельно («на четвереньки» / «на четвереньках», «за границу» / «за границей», «на цыпочки» / «на цыпочках»).
Кстати, наречие – неизменяемая часть речи и не имеет падежных форм. Поэтому «под мышки», «под мышкой», «под мышками» – это не формы одного слова, а разные слова.
И наконец, о разнице между «под мышкой» и «подмышкой». Первое – это наречие, отвечающее на вопросы «где?», «куда?», «как?», а второе – существительное, отвечающее на вопрос «что?».
Он взял пальто с дырявой (чем?) подмышкой.
Он взял пальто с дырой (где?) под мышкой.
Она почесала (что?) подмышку.
Она спрятала сверток (куда?) под мышку.