Математика — это фундаментальная наука, изучающая структуры, порядок и отношения, исторически сформировавшаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реального мира. Её специфика заключается в использовании абстрактного языка и строгой логики для описания количественных и качественных характеристик окружающей действительности.

Факты

• Основные разделы: алгебра, геометрия, математический анализ, теория вероятностей, дискретная математика.
• Истоки: возникла около 4000 лет назад в Древнем Египте и Вавилоне.
• Ключевые открытия: теорема Пифагора, изобретение нуля, открытие интегралов и производных.
• Известные математики: Евклид, Архимед, Исаак Ньютон, Карл Фридрих Гаусс.
• Применение: инженерия, экономика, информационные технологии, астрономия, медицина.
• Современные технологии: основа искусственного интеллекта, криптографии, больших данных и квантовых вычислений.

Этимология

Слово «математика» имеет древнегреческие корни и происходит от «máthēma» (μάθημα), что в дословном переводе означает «изучаемое» или «познаваемое». Уже в античную эпоху это понятие приобрело более узкое значение — «математическое исследование». От него произошло прилагательное «mathēmatikós» (μαθηματικός), использовавшееся в двух значениях: «относящийся к обучению» и собственно «математический».

Интересна история термина «mathēmatikḗ tékhnē» (μαθηματικὴ τέχνη), он в латинском языке превратился в «ars mathematica» — «математическое искусство». Примечательно, что одна из двух главных школ пифагорейской философии носила название «mathēmatikoi» (μαθηματικοί). В те времена слово означало «ученики», а не «математики» в современном понимании. Именно пифагорейцы впервые ограничили использование этого термина областью арифметики и геометрии.

Области математики

В историческом развитии математики прослеживается чёткая эволюция её разделов. До эпохи Возрождения существовало всего два основных направления — арифметика и геометрия. Арифметика занималась операциями с числами, тогда как геометрия изучала пространственные формы.

Значительные перемены произошли в эпоху Возрождения, когда математическое знание обогатилось двумя новыми направлениями. Первым стала алгебра — раздел, посвящённый работе с математическими формулами и уравнениями. Вторым — математический анализ, включающий дифференциальное и интегральное исчисление. Эти разделы позволили описывать непрерывные функции и моделировать сложные зависимости между переменными величинами.

Такое четырёхчастное деление математики — на арифметику, геометрию, алгебру и анализ — сохранялось до конца XIX века. В этот период к математике относили также небесную механику и механику твёрдых тел, что позже перешли в сферу физики. Отдельно стоит отметить комбинаторику — область, изучавшуюся на протяжении всей истории человечества, но оформившуюся в самостоятельный раздел только в XVII веке.

Современная классификация математических дисциплин, принятая в 2020 году, включает более шестидесяти направлений первого уровня. Часть из них соответствуют историческим разделам — например, теория чисел продолжает традиции высшей арифметики. Другие области возникли в XX веке или ранее не считались частью математики — к примеру, математическая логика и теория оснований.

Теория чисел

Теория чисел — один из древнейших разделов математики, берущий начало с базовых операций над натуральными числами. Со временем область исследований расширилась, включив целые и рациональные числа. Хотя исторически этот раздел называли арифметикой, сегодня данный термин используется преимущественно для обозначения вычислительных операций.

Истоки теории чисел можно проследить до древних цивилизаций Вавилона и Китая. Значительный вклад в её развитие внесли два выдающихся учёных древности — Евклид из Греции и Диофант Александрийский. Современное развитие теории чисел как абстрактной дисциплины во многом обязано работам Пьера де Ферма и Леонарда Эйлера. Окончательное формирование этой области произошло благодаря фундаментальным исследованиям Адриена-Мари Лежандра и Карла Фридриха Гаусса.

Геометрия

Геометрия, зародившись как практическая наука для решения задач землемерия и архитектуры, превратилась в обширную область математического знания. Её первоначальным предметом изучения были простейшие формы — линии, углы, окружности. Сегодня геометрия включает множество специализированных направлений:

Проективная геометрия, введённая Жираром Дезаргом в XVI веке, расширила евклидову геометрию концепцией бесконечно удалённых точек. Аффинная геометрия сосредоточилась на изучении параллельности, абстрагируясь от понятия длины. Дифференциальная геометрия исследует кривые и поверхности с помощью дифференцируемых функций.

Особое место занимают теория многообразий, риманова геометрия и алгебраическая геометрия. Топология изучает свойства фигур, не меняющиеся при непрерывных деформациях. Дискретная геометрия занимается конечными геометрическими конфигурациями, а выпуклая геометрия находит широкое применение в задачах оптимизации. Комплексная геометрия исследует геометрические объекты над полем комплексных чисел.

Алгебра

Алгебра — это искусство работы с уравнениями и формулами. В её становлении ключевую роль сыграли два выдающихся математика — Диофант (III век) и аль-Хорезми (IX век). Диофант разработал методы решения уравнений с неизвестными натуральными числами, последовательно выводя новые соотношения до получения результата. Аль-Хорезми внёс революционный вклад, создав систематические методы преобразования уравнений, включая перенос членов между частями уравнения. Само слово «алгебра» происходит от арабского «аль-джабр» — «воссоединение разрозненных частей».

Становление алгебры как самостоятельной науки произошло благодаря Франсуа Виету (1540–1603). Он ввёл революционное новшество — использование переменных для обозначения неизвестных или неопределённых чисел. Это позволило математикам описывать операции с числами при помощи универсальных формул.

До XIX века алгебра в основном концентрировалась на изучении линейных уравнений (современная линейная алгебра) и полиномиальных уравнений с одной неизвестной (алгебраические уравнения).

Математический анализ

Математический анализ, первоначально известный как исчисление бесконечно малых величин, появился в XVII веке благодаря независимым работам Ньютона и Лейбница. Эта область изучает взаимосвязи между переменными величинами, зависящими друг от друга. Значительное развитие анализ получил в XVIII веке благодаря Эйлеру, он ввёл понятие функции и получил множество важных результатов. В современной математике термин «математический анализ» относится к базовой части теории, а более сложные разделы объединяются под общим названием «анализ».

Анализ подразделяется на действительный анализ (изучающий действительные числа) и комплексный анализ (работающий с комплексными числами). В его состав входят многомерное исчисление, функциональный анализ, теория интегрирования, теория меры, теория обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Отдельно стоит численный анализ, сфокусированный на компьютерных методах решения различных типов уравнений.

Дискретная математика

Дискретная математика занимается изучением отдельных исчислимых математических объектов. Классическим примером служит множество целых чисел. Особенность этой области заключается в том, что к её объектам невозможно напрямую применить методы математического анализа и исчисления из-за прерывистой природы изучаемых структур. В дискретной математике ключевую роль играют алгоритмы — особенно важны вопросы их реализации и вычислительной сложности.

Математическая логика и теория множеств

Математическая логика и теория множеств вошли в состав математических дисциплин лишь в конце XIX века. До этого периода множества не рассматривались как математические объекты. Что касается логики — она использовалась при построении математических доказательств, но относилась к философским наукам и не была предметом специального изучения математиков.

Статистика и науки о принятии решений

Статистика — это прикладная математическая дисциплина, предназначенная для сбора и обработки выборочных данных с использованием методов, основанных на теории вероятностей. Статистические исследования базируются на получении данных путём случайной выборки или проведения рандомизированных экспериментов. Структура статистического исследования определяет методологию последующего анализа. При работе с данными наблюдений применяются статистические модели и теория статистического вывода, включая выбор модели и оценку параметров. Важным этапом считается проверка моделей и прогнозов на новых данных.

Вычислительная математика

Вычислительная математика сосредоточена на изучении математических задач, что слишком сложны для ручного решения. Численный анализ как её важнейшая составляющая исследует методы решения аналитических задач с помощью функционального анализа и теории аппроксимации. В широком смысле численный анализ включает изучение приближений и дискретизации, уделяя внимание проблемам ошибок округления. В сферу вычислительной математики также входят алгоритмическая теория матриц, теория графов, компьютерная алгебра и символьные вычисления.

История

Древний период

История математики неразрывно связана с развитием человеческой способности к абстрактному мышлению. Первой математической абстракцией, доступной не только человеку, но и некоторым животным, стала концепция числа — понимание того, что два разных набора предметов могут иметь одинаковое количество элементов. Археологические находки — зарубки на костях — свидетельствуют, что доисторические люди умели считать не только физические объекты, но и абстрактные величины: дни, сезоны, годы.

Более сложные математические вычисления появились около 3000 года до н.э. в Вавилоне и Египте. Математика применялась для налогообложения, финансовых расчётов, строительства и астрономических наблюдений. Древнейшие математические тексты этих цивилизаций датируются 2000-1800 годами до н. э. В них уже встречаются пифагоровы тройки, что делает теорему Пифагора самым старым широко известным математическим утверждением после базовых принципов арифметики и геометрии.

Вавилонская математика примечательна тем, что именно в ней впервые документально зафиксированы операции элементарной арифметики: сложение, вычитание, умножение и деление. Вавилоняне также создали позиционную систему счисления и шестидесятеричную систему, она до сих пор используется при измерении углов и времени.

В VI веке до н. э. греческая математика начала формироваться как самостоятельная дисциплина. Около 300 года до н. э. Евклид создал систематическое изложение математических знаний, введя аксиоматический метод, включающий определения, аксиомы, теоремы и доказательства — этот подход используется в математике до сих пор.

Архимед из Сиракуз (около 287–212 гг. до н. э.), которого часто называют величайшим математиком древности, разработал формулы для вычисления площади поверхности и объёма тел вращения. Он использовал метод исчерпывания для вычисления площади под параболой, применяя суммирование бесконечного ряда способом, напоминающим современное интегральное исчисление.

К другим значительным достижениям греческой математики относятся: учение о конических сечениях Аполлония Пергского (III век до н. э.), основы тригонометрии Гиппарха Никейского (II век до н. э.) и зачатки алгебры в трудах Диофанта (III век н. э.).

Современная система счисления, используемая во всём мире, появилась в Индии в первом тысячелетии нашей эры и распространилась на Запад через арабских математиков. Индийские учёные также дали современные определения синуса и косинуса и разработали раннюю форму бесконечных рядов.

Средневековье и позднее

Золотой век исламской математики пришёлся на IX–X века. В этот период было сделано множество важных открытий, основанных на достижениях греческих учёных. Наиболее значимым вкладом исламских математиков стало развитие алгебры. Они также усовершенствовали сферическую тригонометрию и ввели десятичные дроби в арабскую систему счисления. Среди выдающихся учёных того времени особое место занимают персидские математики — аль-Хорезми, Омар Хайям и Шараф ад-Дин ат-Туси. В Средние века греческие и арабские математические тексты были переведены на латынь, что сделало их доступными для европейских учёных.

Западноевропейская математика начала стремительно развиваться в эпоху раннего Нового времени. Этому способствовал ряд революционных нововведений:

• Франсуа Виет (1540–1603) ввёл систему переменных и символьных обозначений.
• Джон Непер в 1614 году создал логарифмы, существенно упростившие вычисления.
• Рене Декарт (1596–1650) разработал координатный метод, связавший геометрию с алгеброй.
• Исаак Ньютон (1642–1726/27) и Готфрид Лейбниц (1646–1716) создали математический анализ.
• Леонард Эйлер (1707–1783), крупнейший математик XVIII века, систематизировал эти достижения, создал единую терминологию и обогатил науку множеством новых теорем.

XIX век ознаменовался деятельностью Карла Гаусса, внёсшего фундаментальный вклад в алгебру, анализ, дифференциальную геометрию, теорию матриц, теорию чисел и статистику. В начале XX века Курт Гёдель произвёл революцию в математической логике, доказав теоремы о неполноте. Они показали, что в любой непротиворечивой аксиоматической системе, способной описать арифметику, существуют истинные утверждения, которые невозможно доказать в рамках этой системы.

Современная математика характеризуется тесным взаимодействием с другими науками, что обогащает обе стороны. По данным на 2006 год, база данных Mathematical Reviews содержала более 1,9 миллиона публикаций, ежегодно пополняясь 75 тысячами новых работ. Большинство этих исследований содержит новые теоремы и их доказательства.

Связь с науками

Математика служит фундаментальным инструментом для большинства научных дисциплин, позволяя создавать модели явлений и делать прогнозы на основе экспериментальных законов. Математические истины не зависят от экспериментов, поэтому точность научных прогнозов определяется лишь адекватностью выбранной математической модели. Если прогнозы оказываются неточными, это указывает на необходимость корректировки модели, а не на ошибки в математических концепциях. Яркий пример — объяснение прецессии перигелия Меркурия: это явление удалось описать только после создания общей теории относительности Эйнштейна, пришедшей на смену ньютоновскому закону всемирного тяготения.

В научном сообществе продолжаются философские дискуссии о статусе математики как науки. Тем не менее, на практике математиков относят к учёным, поскольку математика обладает ключевыми признаками научной дисциплины. Главный из них — доказуемость: любой неверный результат или теорию можно опровергнуть, предъявив контрпример. Как и в других науках, математические теории часто возникают из экспериментов. В математике эксперимент заключается в вычислениях на конкретных примерах или изучении свойств математических объектов (часто мысленном). Известен случай, когда Гаусс на вопрос о том, как он пришёл к своим теоремам, ответил: «durch planmässiges Tattonieren» (путём систематических экспериментов).

При этом математика отличается от современного понимания науки тем, что не опирается на эмпирические данные. Её истины устанавливаются путём логических рассуждений, а не экспериментальных наблюдений.

Награды и премии

Медаль Филдса считается самой престижной наградой в математическом мире. Учреждённая в 1936 году, она присуждается один раз в четыре года не более чем четырём учёным. Единственное исключение в периодичности вручения пришлось на годы Второй мировой войны. В научном сообществе эту награду часто называют математическим эквивалентом Нобелевской премии.

В математическом сообществе высоко ценятся и другие награды. Премия Абеля, учреждённая в 2002 году, впервые нашла своего обладателя в 2003 году. Медаль Черна за достижения в течение жизни появилась в 2009 году, а первое награждение состоялось в 2010 году. С 1970 года присуждается премия AMS Лероя П. Стила. Премия Вольфа по математике, отмечающая достижения учёных на протяжении всей их карьеры, была учреждена в 1978 году.

Особое место в истории математики занимают знаменитые «Проблемы Гильберта» — список из 23 нерешённых задач, составленный немецким математиком Давидом Гильбертом в 1900 году. На 2022 год, в зависимости от интерпретации ряда формулировок, решено не менее тринадцати из этих задач.

В 2000 году математическое сообщество представило новый список — «Проблемы тысячелетия», включающий семь фундаментальных задач. Из проблем Гильберта в него вошла только гипотеза Римана. За решение каждой из этих задач установлена награда в один миллион долларов. На сегодняшний день решена лишь одна из них — гипотеза Пуанкаре.

Выдающиеся учёные-математики

В истории математики особое место занимают учёные, чьи открытия определили развитие этой науки на столетия вперёд.

Исаак Ньютон (1642–1727) создал основы современного математического анализа, разработав дифференциальное и интегральное исчисление. Его фундаментальный труд «Математические начала натуральной философии» заложил основы классической механики.

Готфрид Лейбниц (1646–1716) независимо от Ньютона разработал математический анализ, внёс существенный вклад в теорию вероятностей и проективную геометрию. Его система обозначений для дифференциального и интегрального исчисления используется до сих пор.

Леонард Эйлер (1707–1783) оставил после себя более 800 работ по различным областям математики. Его исследования охватывают математический анализ, дифференциальную геометрию, теорию чисел и приближённые вычисления.

Рене Декарт (1596–1650) считается основоположником аналитической геометрии. Он первым ввёл понятия функции и переменной величины, что произвело революцию в математическом мышлении.

Карл Фридрих Гаусс (1777–1855), прозванный «королём математики», создал фундаментальные работы во многих областях, до сих пор сохраняющие своё значение.

Николай Лобачевский (1792–1856) совершил революцию в геометрии, создав неевклидову геометрию. Его работы изменили представления о пространстве и впоследствии легли в основу теории относительности Эйнштейна.

Софья Ковалевская (1850–1891) стала первой в России женщиной-профессором математики. Она внесла значительный вклад в теорию дифференциальных уравнений, небесную механику и математическую физику.

Андрей Колмогоров (1903–1987) сформировал современную теорию вероятностей как математическую дисциплину. Его работы в области функционального анализа, теории множеств и теории приближения функций имели основополагающее значение.

Григорий Перельман (род. 1966) прославился доказательством гипотезы Пуанкаре, математики безуспешно работали над ней более ста лет. Его строгое доказательство превратило эту гипотезу в теорему.