Для ответа на этот вопрос воспользуемся не критерием низкой скорости после отделения первой ступени, а рассмотрим другую характеристику ракеты-носителя.
Реактивное движение основано на законе сохранения импульса. И поэтому, наилучшим образом, степень совершенства и возможности разных типов ракет характеризует полный (суммарный) импульс тяги двигателя.
Итак, цитируя:
Импульс тяги двигателя
Для достижения заданной скорости и высоты подъема в конце активного участка траектории полета ракете на этом участке должен быть сообщен соответствующий полный импульс тяги двигателя, определяемый равенством
здесь tп — полное время работы двигателя.
Импульс тяги представляет собой интеграл от тяги двигателя, взятый по полному времени его работы:
Размерность суммарного импульса в единицах СИ — Н•с; в технической системе единиц — кг•с
Суммарный импульс тяги определяется целевой задачей летательного аппарата определенного класса (зенитная ракета, ракеты "воздух-воздух", ракета-носитель, межконтинентальная баллистическая ракета, космический аппарат) и задается в техническом задании на разработку ЖРД.
Необходимая величина суммарного импульса тяги может реализовываться, в непрерывном режиме, и в импульсном. Непрерывный режим работы характерен, например, для маршевых ЖРД. Импульсный режим, в основном, используется в ЖРД малой тяги, служащих для вспомогательных целей, например, для коррекции положения космического аппарата.
В свою очередь непрерывный режим тяги может осуществляться либо с постоянной либо с переменной во времени тягой двигательной установки.
Примером режима с переменной тягой во времени является сам Сатурн-5.
Так, без отключения центрального двигателя на всех пяти двигателях, он мог развить некоторую скорость и высоту полёта за меньшее время, но для уменьшения перегрузок приходилось отключать центральный двигатель за полминуты до окончания работы всей двигательной установки. Тяга и расход топлива уменьшались, а время расходования оставшегося топлива, соответственно, увеличивалось. Суммарный импульс тяги двигательной установки при этом почти не менялся и ракета должна была достичь практически тех же скорости и высоты полёта. При этом немного возрастают гравитационные потери из-за увеличения времени полёта.
Если считать тягу двигателей первой ступени Сатурн-5 постоянной, то диаграмму тяги двигательной установки по времени можно представить следующим образом,
а выражение суммарного импульса тяги можно записать так
5 • P • t = 5 • P • Tceco+ 4 • P • (Toeco - Tceco)
здесь
t - время полёта на всех двигателях до полной выработки топлива,
P - тяга ракетного двигателя F-1,
Tceco - время отключения центрального двигателя,
Toeco - время отключения периферийных двигателей.
После преобразований получим
Кстати, эту же зависимость можно получить из баланса масс.
Время t можно определить по формуле (23), представленной в таком виде
здесь
Jo = 2594 - удельный импульс ракетного двигателя F-1 у поверхности Земли, м/с
go = 9,792 - ускорение свободного падения на широте пуска ракеты, м/с²
no = 1,21 - стартовая тяговооружённость (перегрузка)
µк - относительная масса ракеты в конце активного участка траектории полёта.
Запомним эти выражения (1) и (2). Они ещё понадобятся в дальнейшем.
Для более полного раскрытия понятия суммарного импульса тяги представим выражение для него в ином виде.
Подставим в формулу для суммарного импульса выражение тяги ракетного двигателя через произведение расхода топлива на удельный импульс
ṁ - расход топлива,
J - удельный импульс ракетного двигателя.
Тогда она примет вид
Произведение расхода топлива на время полёта есть запас этого топлива Мт
То есть, суммарный импульс тяги ракетного двигателя можно представить в виде произведения массы заправленного топлива на удельный импульс
По этому выражению видно - для выполнения ракетой своей полётной задачи необходим определённый запас топлива при имеющемся удельном импульсе двигательной установки. Глядя на эту формулу, вполне понятна основная тенденция в ракетостроении по созданию ракетных двигателей с высоким удельным импульсом. Повышение удельного импульса приводит к выполнению ракетой полётного задания с меньшим запасом топлива на борту ракеты. При неизменной стартовой массе такая ракета способна нести более весомую полезную нагрузку.
Вернёмся к ракете-носителю Сатурн-5. Суммарный импульс тяги ракеты складывается из полных импульсов двигательных установок трёх ступеней:
Достаточно не дотянуть одному из суммарных импульсов до необходимой величины и Сатурн-5 не справится с выведением космического корабля Аполлон на траекторию полёта к Луне.
Произойти такое может, если:
- одна из ступеней ракеты-носителя будет не дозаправлена топливом;
- двигатели ступени будут иметь низкий удельный импульс;
- или будут действовать оба фактора.
Под подозрением пока оказалась первая ступень. Удельный импульс её двигателей, лично у меня, сомнений не вызывает. Полагаю, меньше заявленного он быть не может. Его величина и так невысока и соответствует, более всего, удельному импульсу твердотопливных двигателей, нежели жидкостным ракетным двигателям. Следовательно, для ответа на поставленный вопрос необходимо рассчитать реальный запас топлива в первой ступени, с которым Сатурн-5 миссии Аполлон-11 отправился в полёт.
Для этого вычислим реальную относительную массу ракеты-носителя µ на момент отключения двигателей первой ступени по скорости 1252,59 м/с, определённой в предыдущей статье. В расчётах, кроме предположения о соответствии реального удельного импульса двигательной установки заявленному, будем считать: ракета-носитель летит по штатной программе выведения (зависимость угла тангажа Θ от относительной массы ракеты µ).
Скорость в конце активного участка первой ступени определяется выражением
Здесь
<J> - удельный импульс двигательной установки среднеинтегральный по высоте на всём активном участке траектории полёта, поэтому потери на противодавление не учитываются,
Δug - гравитационные потери,
Δuа - аэродинамические потери.
Из этого выражения получим формулу для вычисления µ
Вычислять относительную массу ракеты в конце активного участка первой ступени будем методом последовательных приближений
Для получения результата в первом приближении примем
<J> = 2929,79 м/с
Δug = 1233,4 м/с
Δuа = 46,4 м/с
Эти данные получены при обработке сведений из отчётов НАСА.
В последующих приближениях при расчёте µ, гравитационные потери будем уточнять по формуле
здесь
t = 161,33 секунды - время от старта до отключения двигательной установки первой ступени,
gо = 9,792 м/с.кв. - ускорение свободного падения на широте пуска,
<Sin(Θ)>rms - среднеквадратичное значение синуса угла между вектором скорости ракеты и местным горизонтом на длине всего активного участка траектории полёта первой ступени. Оно вычисляется по формуле
Эта зависимость получена для штатной программы полёта в результате обработки данных из отчётов НАСА о полёте Сатурн-5 миссии Аполлон-11.
Итак приступим.
Относительная масса в первом приближении
µ = exp[-(1252,59+1233,4+46,4)/2929,79] = 0,421
Уже по этому результату видно: масса «Сатурн-5» к концу работы двигателей первой ступени почти в 1,5 раза меньше штатной величины (µ = 0,286). То есть ракета-носитель не дозаправлена.
Получим более точный результат.
Уточним гравитационные потери
<Sin(Θ)>rms = 0,211 • th[ 25 • (0,421-0,286)^4,7 + 2,677 • (0,421-0,286)] + 0,789= 0,862
Δug = 9,792 • 0,862 • 161,33 = 1362,49 [м/с]
Теперь подсчитаем относительную массу во втором приближении
µ = exp[-(1252,59+1349,49+46,4)/2929,79] = 0,403
и снова уточним гравитационные потери
<Sin(Θ)>rms = 0,211 • th[ 25 • (0,403-0,286)^4,7 + 2,677 • (0,403-0,286)] + 0,789= 0,853
Δug = 9,792 • 0,853 • 161,33 = 1347,98 [м/с]
Относительная масса в третьем приближении
µ = exp[-(1252,59+1347,98+46,4)/2929,79] = 0,405
Отличие от предыдущего приближения уже несущественно.
Ещё раз уточним относительную массу Сатурна-5.
<Sin(Θ)>rms = 0,211 • th[ 25 • (0,405-0,286)^4,7 + 2,677 • (0,405-0,286)] + 0,789= 0,854
Δug = 9,792 • 0,854 • 161,33 = 1349,49 [м/с]
µ = exp[-(1252,59+1349,49+46,4)/2929,79] = 0,405
и значение относительной массы в этом приближении совпало с результатом в предыдущем. Расчёт окончен,
µ = 0,405.
Теперь можно определить массу ракеты-носителя на старте.
Воспользуемся штатным значением массы «Сатурн-5» на момент отключения двигательной установки - 827 292 кг.
Тогда масса на старте
Мо = Мк / µ
Мо = 827292 / 0,405 = 2 042 696,3 [кг]
Масса топлива в первой ступени Сатурн-5 определяется разностью масс на старте и в конце активного участка первой ступени.
Мт = Мо - Мк
Мт = 2042646,9 - 827292 = 1 215 404,3 [кг]
А должно быть 2 071 366 килограмма.
Первая ступень ракеты-носителя Сатурн-5 миссии Аполлон-11 имела запас топлива почти в 1,7 раза меньше положенного.
После определения стартовой массы Сатурн-5, легко рассчитать тягу двигательной установки. Для этого нужно стартовый вес ракеты помножить на стартовую тяговооружённость
P = go • Mo • no
Так как ракета-носитель Сатурн-5 миссии Аполлон-11 показала на старте динамику, соответствующую расчётной (это видно по многочисленным кино-материалам исторического старта), то стартовая перегрузка no = 1,21.
Тогда тяга двигательной установки
P = 9,792 • 2042646,9 • 1,21 = 24 202 519,4 [Н]
А тяга отдельного двигателя F-1 равна одной пятой от полученной величины, то есть 4840,5 кН или 493,4 тонн-силы вместо заявленных 691. Расход топлива двигательной установки при такой тяге составляет 9330 кг/с.
Полученные значения основаны на измеренной по стоп-кадрам скорости полёта 1252,59 м/с после отделения первой ступени ракеты-носителя Сатурн-5. Применённый метод измерения, конечно же, не даёт абсолютно точную величину этой скорости. Поэтому в расчётах в данной статье было бы более корректно использовать среднее значение скорости, полученное по нескольким результатам измерений и по нескольким стоп-кадрам. В ходе диалога с llynxx в комментариях к предыдущей статье, была рассчитана скорость после отделения первой ступени по другому стоп-кадру. Её значение 1536,6 м/с. Расчёт по этой скорости выполнен по алгоритму предыдущего расчёта, методом последовательных приближений, с помощью Excel (файл с рабочей таблицей на Яндекс-диск), и даёт такой результат:
В этом случае, тяга двигателя F-1 равна 538,5 тонн-силы вместо 691. Расход топлива двигательной установки при такой тяге составляет 10 182,5 кг/с. Масса топлива 1401,9 тонн. Это тоже не дотягивает до величины 2071 тонн. Первая ступень Сатурн-5 не дозаправлена, и следовательно, суммарный импульс тяги двигательной установки первой ступени меньше положенного. Именно поэтому после отделения первой ступени ракета имеет столь малую скорость и, наверняка, низкую высоту полёта.
Ракета-носитель Сатурн-5 была не способна вывести космический корабль Аполлон-11 на траекторию полёта к Луне.
Её реальные параметры находятся в следующих пределах:
Несмотря на неутешительный вывод, характеристики ракеты-носителя Сатурн-5 выглядят впечатляюще и незаурядно.
... и всё таки, что это за острый уголок в факеле от двигателей Сатурн-5?
