Одна из задач на геометрию с регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников 2009 года, в которой используется интересная идея и совсем немного комбинаторики. Точек довольно много, чтобы перебрать все тройки и проверить, составляют ли они равнобедренный треугольник. Такое решение на олимпиаде набирало 40 баллов из 100. Давайте для начала будем перебирать лишь одну вершину - противоположную основанию. Если теперь выделить множество вершин, равноудалённых от выбранной, то все их попарные комбинации будут образовывать основание равнобедренного треугольника...

1. Вспомним необходимую теорию: · Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его концов вычесть соответствующие координаты его начала, т.е., например · Длина вектора: 2. Для решения этой задачи выразим длины векторов через их координаты, заменив неизвестные координаты на «х». Зная длины сторон треугольника, составим уравнения, приравняв выражение длины вектора через координаты и ее известное значение. Запишем координаты точек и вычислим по ним координаты векторов: 3. Составим систему уравнений:...