Антология точных наук

Казалось бы, нет ничего особо сложного в процентных соотношениях. Однако это далеко не всегда так. Примером тому может служить анекдот из "девяностых". Встречаются два старых приятеля. Один - бывший отличник, а ныне кандидат наук, но еле сводящий концы с концами. А другой - бывший двоечник, но с мерседесом и золотой цепью на шее в несколько килограмм. Разговорились, что у кого в жизни. Первый посетовал, что научно-исследовательский институт, где он работал закрыли. Денег нет и всё такое прочее. Налицо, так сказать, полная профанация пропорции и процентных соотношений...

Пропорции и отношения - это не только отвлечённое математическое понятие. Очень часто мы встречаемся с ними в нашей повседневной жизни. Поговорим сначала об отношении, так как оно является частью пропорции. Отношение - это сравнение двух величин. Сравнивать можно всё, что угодно. Лишь бы оно имело какую-то величину. Можно сравнить длину: один сантиметр относится к одному метру, как один к ста. Важное условие: величины должны записываться в одинаковых единицах. То есть, если мы берём сантиметр и метр, мы должны обе величины записать в сантиметрах...

Если вчитаться в само понятие "уравнение", можно ясно увидеть, что это некое равенство, части которого уравнены между собой. Отличие уравнения состоит в том, что оно имеет в себе одно или несколько неизвестных, которые принято обозначать последними буквами латинского алфавита: икс, игрек или зет. Самый упрощённый вид уравнения можно образовать из любого арифметического примера. Например, мы хотим вычислить разность 3 минус 2. Это обычный арифметический пример. Однако, если обозначить искомый результат этого, ещё не решённого примера, буквой "х", то мы получим вид упрощённого уравнения...

Начнём с того, что равенство - это общее название всех выражений со знаком =, какие бы данные не стояли в правой или левой его части. А вот с тождеством немного сложнее. Дело в том, что тождество и равенство не всегда равнозначные понятия. Чтобы было понятнее, можно сказать, что тождество - это частный случай равенства. То есть некоторые равенства могут быть тождественными, а некоторые могут тождественными и не быть. Почему? Тождество - это выражение равенства, в котором не может быть других вариантов...

Есть старая притча. Причём её интерпретаций существует множество: про падишаха и визиря, про короля и советника, про султана и мудреца и другие в разных ролях. Суть же одна... Сослужил однажды некий советник (визирь, мудрец - нужное подчеркнуть:) своему правителю хорошую службу. И решил тот правитель вознаградить своего подданного с великой щедростью. Подумал мудрец и сказал: Крикнул он слуг своих и повелел исполнить желание мудреца. Положили слуги одно зерно на первую клетку, два - на вторую, четыре - на третью...

Помните фильм "Приключения Электроника"? Был там такой персонаж по фамилии Чижиков (которого за цвет волос вечно звали Рыжиковым). Там он выдвинул теорию, что "икс" нужно переименовать в "иск", так как его постоянно приходится искать... Наивно, но недалеко от истины. Ведь действительно икс, игрек, зет обычно обозначают неизвестные, которые в уравнении следует найти. А кто и когда ввёл в математику эти обозначения, к которым мы теперь так привыкли? История обозначения неизвестных величин буквами...

Определитель матрицы третьего порядка будет состоять из трёх строк и трёх столбцов. Когда мы вычисляли определитель квадратной матрицы второго порядка, мы начинали процесс с главной диагонали. Для нахождения определителя квадратной матрицы третьего порядка мы также станем танцевать от главной диагонали, но алгоритм работы будет немного сложнее. Первым действием перемножаем элементы главной диагонали: Далее берём диагональ, параллельную главной диагонали, находящуюся выше её и от неё строим треугольник в левый нижний угол...

Обозначим детерминант (определитель) матрицы А вот такой записью: Не путаем данное обозначение с модулем числа: запись похожа, но смысл совершенно разный. Определители мы вычисляем только для квадратных матриц. Начнём с вычислителя первого порядка. Здесь всё просто: определителем матрицы первого порядка служит её единственный элемент. Рассмотрим вычисление определителя матрицы второго порядка. Саму матрицу мы записываем в круглых скобках, а определитель...

Транспонирование матрицы - это процесс замены строк матрицы на столбцы с тем же номером и порядком элементов. А теперь простым языком: для транспонирования нужно каждую строку последовательно записать в новой матрице в качестве столбца. Примерно это выглядит так: Специально в матрице все числа даны разные, чтобы было понятно, какой элемент на какое место встаёт. Транспонированная матрица обозначается следующим образом: Ни в коем случае не путаем такую запись с возведением в степень. Запишем транспонирование...

На самом деле это достаточно простое действие для понимания, если мы умеем умножать матрицу на матрицу. Так как, чтобы возвести матрицу в степень, нужно её умножить на себя столько раз, сколько указывает степень. Здесь всё как с обычными числами. Пусть мы имеем матрицу А. Чтобы возвести её в квадрат, мы должны её умножить на себя: Соответственно, чтобы возвести матрицу А в куб, нужно перемножить между собой три матрицы А. И, чтобы возвести матрицу А в n-ную степень, следует перемножить между собой n матриц А...

Вопрос умножения матриц имеет свои особенности, причём весьма существенные. Во-первых, как это парадоксально звучит для математики, но места в произведении, на которых стоят матрицы, имеют значение. То есть от перемены мест множителей (если это матрицы) решение может быть разным или не существовать вообще. В виде выражения это выглядит так: Во-вторых, и это очень важно, действие умножения матриц можно провести только при условии, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы...

Рассмотрим вопрос умножение числа на матрицу или матрицы на число, что одно и то же. При умножении действительного числа матрицу каждый элемент матрицы умножается на это число. При умножении на матрицу действительных (или ещё их называют вещественными) чисел, принято их обозначать греческой буквой лямбда. Выглядит это следующим образом:...