С помощью свойств биссектриса нужно найти площади и периметр параллелограмма. Сейчас покажу подробнее.
P.S. Все задания взяты из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Необходимая теория
Для решения задач нужно
- Знать определение биссектрисы угла - отрезка, который делит угол пополам.
- Знать признаки равенства треугольников.
- Знать теорему, согласно которой биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
- Знать свойство параллелограмма о том, что его противоположные стороны равны.
- Знать формулу площади параллелограмма через высоту и сторону: площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой эта высота проведена.
Задача 1
Формулировка. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Чертёж. ABCD - параллелограмм, АК - его биссектриса.
Алгоритм. Докажем, что AB = BK, затем найдём DC, BC и AD, сложив длины всех сторон и вычислим периметр.
АК - биссектриса угла параллелограмм, т.е. отсекает от него равнобедренный треугольник ABK, значит AB = BK = 7.
AB = DC = 7 как противоположные стороны параллелограмма.
BC = BK + KC = 7 + 12 = 19, Значит BC = AD = 19 как противоположные стороны параллелограмма.
Тогда периметр ABCD равен AB + BC + CD + DA = 7 + 19 + 7 + 19 = 52.
Ответ: периметр параллелограмма ABCD равен 52.
Задача 2
Формулировка. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 2, а расстояние от точки K до стороны AB равно 1.
Чертёж. ABCD - параллелограмм, AK и BK биссектрисы его углов, расстояние от точки K до стороны AB обозначим как KH. Сделаем доп. построение: построим MN - высоту параллелограмма, проходящая через точку К, а также соединим точку K с точками A и B, чтобы образовались треугольники.
Алгоритм. Через пару равных треугольников HBK и MBK найдём длину отрезка MK, затем через пару равных треугольников HAK и NAK найдём длину отрезка KN, после чего вычислим длину высоты MN и найдём площадь параллелограмма.
AK и BK являются биссектрисами, т.е. делят углы пополам => ∠HBK = ∠MBK и ∠KAH = ∠KAN.
MN - высота, HK - расстояние, т.е. оба отрезка являются перпендикулярами и образуют прямые углы => ∠BHK = ∠AHK = ∠KMB = ∠KNA.
Рассмотрим треугольники BHK и BMK. В них есть по две пары углов, значит и третьи равны между собой, т.е. ∠HKB = ∠MKB. Тогда эти треугольники равны по стороне (BK общая) и двум прилежащим к ней углам. Отсюда HK = MK = 1.
Аналогично равны треугольники HKA и NKA => HK = NK = 1.
Высота MN равна сумме отрезков MK и KN, т.е. 1 + 1 = 2.
Отсюда площадь параллелограмма равна произведению стороны на проведенную к ней высоту: S = BC · MN = 2 · 2 = 4.
Ответ: площадь параллелограмма ABCD равна 4.
✅ Самопроверка с ответами
Задача 1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Ответ: периметр параллелограмма ABCD равен 66.
Задача 2. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 18, а расстояние от точки K до стороны AB равно 1.
Ответ: площадь параллелограмма ABCD равна 36.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Насколько эти задачи показались сложными?
✅ Самое надёжное — не зубрёжка, а понимание.
📌 Дальше — постепенный разбор задач задания 23:
👉 Подборка всех задач задания 23 - здесь.
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор всех типов задания 16 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.