Задачи две, а чертёж один. И суть решения тоже. Сейчас покажу.
P.S. Все задачи подобраны из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Необходимая теория
Для решения задач нужно:
- Знать теорему о радиусе, проведенном в точку касания.
- Знать и уметь применять теорему Пифагора.
Задача 1
Формулировка. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 1, AC = 5.
Чертёж. ABC - треугольник. Окружность проходит через его вершины В и С, а центр окружности лежит на прямой АС (обозначим его точкой О).
Алгоритм. Докажем, что треугольник OBА прямоугольный. Запишем для него теорему Пифагора с использованием R (радиуса окружности). Получим уравнение. Решим его - найдём радиус. Затем удвоим радиус, чтобы найти диаметр.
OB - радиус, проведенный в точку касания, следовательно, он перпендикулярен касательной, т.е. OB ⊥ AB. Тогда треугольник АОВ прямоугольный. Запишем для него теорему Пифагора: OA² = OB² + BA².
Выразим отрезки, входящие в теорему Пифагора. OA = CA - AO = CA - R, OB = R, AB известен.
Подставим полученные выражения в теорему: (CA - R)² = R² + BA² => (5 - R²) = R² + 1².
Раскроем скобку как квадрат разности: 25 - 10R + R² = R² + 1. Тогда 25 - 10R - 1 = 0. Отсюда 10R = 24 => R = 2,4.
Диаметр равен удвоенному радиусу, т.е. 2 · 2,4 = 4,8.
Ответ: диаметр окружности равен 4,8.
Задача 2
Формулировка. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 8,4, а AB = 4.
Чертёж. ABC - треугольник. Окружность проходит через его вершины В и С, а центр окружности лежит на прямой АС (обозначим его точкой О).
Алгоритм. Докажем, что треугольник OBА прямоугольный. Запишем для него теорему Пифагора с использованием R (радиуса окружности). Получим уравнение. Решим его - найдём длину неизвестного отрезка.
Начнем сразу с уравнения - оно будет аналогично тому, которое составлено в предыдущей задаче: (CA - R)² = R² + BA².
Уточним, что если диаметр 8,4, то радиус 8,4 : 2 = 4,2.
Подставляем: (AC - 4,2²) = 4,2² + 4².
Тогда: AC² - 8,4AC + 17,64 = 17,64 + 16.
Отсюда AC² - 8,4AC - 16 = 0. Получаем квадратное уравнение. Его корни -1,6 и 10. Ищем длину отрезка, она не может быть отрицательна, значит ответ 10.
Ответ: длина отрезка AC равна 10.
✅ Самопроверка с ответами
Задача 1. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 2, AC = 8.
Ответ: диаметр окружности равен 7,5.
Задача 2. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 3,6, а AB = 8.
Ответ: длина отрезка AC равна 10.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Насколько эта задача показалась сложной?
✅ Самое надёжное — не зубрёжка, а понимание.
📌 Дальше — постепенный разбор задач задания 23:
👉 Подборка всех задач задания 23 - здесь.
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор всех типов задания 16 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.