Несколько теорем - и два балла твои. Не все задачи задания 23 решаются долго и сложно. Эти 2 задачи тому пример.
P.S. Все задачи подобраны из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Необходимая теория
Для решения задач нужно:
- Знать и уметь применять теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике.
- Знать и уметь применять теорему о том, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.
Задача 1
Формулировка. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 30, CD = 40, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 20.
Чертёж. Пусть O - центр окружности. Тогда OH - расстояние от центра до хорды AB, OF - расстояние от центра до хорды CD, AB = 30, CD = 40, OH = 20, OF нужно найти.
Алгоритм. Достроим радиусы окружности (из центра к точкам A, B, C, D), докажем, что OН и ОF - медианы в треугольниках, найдём величину радиуса через теорему Пифагора в треугольнике OFB, затем по теорема Пифагора в треугольнике OCF вычислим OF.
Сделаем дополнительное построение - проведём радиусы: OA = OB = OC = OD как радиусы одной окружности.
Треугольник AOB равнобедренный, т.к. OA = OB. OH - высота этого треугольника, т.к. OH - расстояние, т.е. перпендикуляр. При этом ОН проведена к основанию. Тогда OH - медиана этого треугольника => AH = HB = AB : 2 = 30 : 2 = 15.
Треугольник OHB прямоугольный, т.к. OН - расстояние, т.е. перпендикуляр к AB. Найдём его гипотенузу по теореме Пифагора: OB² = OH² + HB² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625. Отсюда OB = √625 = 25. Тогда OA = OB = OC = OD = 25.
Аналогично треугольнику AOB треугольник COD равнобедренный, т.к. OC = OD. OF - высота этого треугольника, т.к. OF - расстояние, т.е. перпендикуляр. При этом ОF проведена к основанию. Тогда OF - медиана этого треугольника => CF = FD = CD : 2 = 40 : 2 = 20.
Треугольник OFC прямоугольный, т.к. OF - расстояние, т.е. перпендикуляр к CD. Найдём его катет по теореме Пифагора: OF² = OC² - FC² = 25² - 20² = 625 - 400 = 225. Отсюда OF = √225 = 15.
Ответ: расстояние до хорды CD = 15.
Задача 2
Формулировка. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 10, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 12 и 5.
Чертёж. Пусть O - центр окружности. Тогда OH - расстояние от центра до хорды AB, OF - расстояние от центра до хорды CD, AB = 10, OH = 12, OF = 5, CD нужно найти.
Алгоритм. Достроим радиусы окружности (из центра к точкам A, B, C, D), докажем, что OН и ОF - медианы в треугольниках, найдём величину радиуса через теорему Пифагора в треугольнике OFB, затем по теорема Пифагора в треугольнике OCF вычислим CF, после чего найдём DC.
Сделаем дополнительное построение - проведём радиусы: OA = OB = OC = OD как радиусы одной окружности.
Треугольник AOB равнобедренный, т.к. OA = OB. OH - высота этого треугольника, т.к. OH - расстояние, т.е. перпендикуляр. При этом ОН проведена к основанию. Тогда OH - медиана этого треугольника => AH = HB = AB : 2 = 10 : 2 = 5.
Треугольник OHB прямоугольный, т.к. OН - расстояние, т.е. перпендикуляр к AB. Найдём его гипотенузу по теореме Пифагора: OB² = OH² + HB² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169. Отсюда OB = √169 = 13. Тогда OA = OB = OC = OD = 13.
Аналогично треугольнику AOB треугольник COD равнобедренный, т.к. OC = OD. OF - высота этого треугольника, т.к. OF - расстояние, т.е. перпендикуляр. При этом ОF проведена к основанию. Тогда OF - медиана этого треугольника => CF = FD = CD : 2. Отсюда CD = 2FC.
Треугольник OFC прямоугольный, т.к. OF - расстояние, т.е. перпендикуляр к CD. Найдём его катет по теореме Пифагора: FC² = OC² - FO² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144. Отсюда FC = √144 = 12. Тогда CD = 2FC = 2 · 12 = 24.
Ответ: длина хорды CD = 24.
✅ Самопроверка с ответами
Задача 1. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 40, CD = 42, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 21.
Промежуточные вычисления: радиус окружности равен 29.
Ответ: 20.
Задача 2. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 24, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 16 и 12.
Промежуточные вычисления: радиус окружности равен 20.
Ответ: 32.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какая из двух задач показалась сложнее? Первая (найти расстояние) или вторая (найти хорду)? Почему?
✅ Самое надёжное — не зубрёжка, а понимание.
📌 Дальше — постепенный разбор задач задания 23:
👉 Подборка всех задач задания 23 - здесь.
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор всех типов задания 16 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.