Математика всегда казалась островом абсолютной истины. Два плюс два равно четыре, и тут не поспоришь. Но в начале XX века математики с ужасом обнаружили, что их трехтысячелетний храм знаний стоит на зыбучем песке. А спустя еще несколько десятилетий молодой аспирант из Вены нанес по этому храму удар, от которого он не оправится никогда. Его теорема о неполноте навсегда ограничила возможности человеческого разума — и сделала самого автора самым неоднозначным человеком в истории математики.
В конце XIX века математики занялись тем, что раньше казалось им неинтересным, — основами собственной науки. Они начали разбирать по кирпичикам здание, которое строили три тысячи лет. И быстро поняли: фундамент трещит.
В математике один за другим возникали парадоксы, которые не поддавались объяснению. Самый известный — парадокс Бертрана Рассела. Представьте множество, в которое входят все множества, не содержащие сами себя. Вопрос: должно ли это множество включать себя? Если да, то по определению оно не должно себя включать (ведь туда входят только те, кто себя не содержит). А если не должно, то оно как раз подходит под условие — и обязано себя содержать. Математики запаниковали. Их стройная система дала сбой.
Но нашелся человек, который решил навести порядок в этой области знания. В 1900 году в Париже на конференции математик Давид Гильберт представил список из 23 нерешенных проблем. Эти задачи должны были задать направление исследований на десятилетия вперед. «Пока наука предлагает изобилие проблем, она жива», — заявил Гильберт собравшимся.
Особое место в списке занимала вторая проблема. Она касалась аксиом — тех самых правил игры, из которых математики выводят все остальное. Гильберт бросил вызов коллегам: доказать, что аксиомы арифметики непротиворечивы. То есть что из них с помощью конечного числа логических шагов никогда нельзя получить два противоположных результата.
Представьте настольную игру, в которой одно прочтение правил приносит вам очки, а другое, столь же законное, эти очки отнимает. В такую игру играть бессмысленно. Вот почему Гильберт так хотел получить гарантию: в математике такого не случится.
Несколько десятилетий он с коллегами разрабатывал так называемую теорию доказательств. Они превратили сами доказательства в математические объекты. Обычное доказательство — это набор слов и символов. А новый подход позволил изучать доказательства с помощью математических инструментов. Как поваренная книга, в которой есть рецепт приготовления других рецептов.
В 1928 году Гильберт прочел лекцию «Основания математики». Он объяснил, что новый метод позволит окончательно разрешить фундаментальные вопросы науки. Признал, что предстоит еще много работы, но выглядел уверенным.
В тот самый момент в Венском университете учился 22-летний аспирант Курт Гёдель. Его научные руководители разделяли идеи Гильберта. Правда, историки не нашли доказательств того, что Гёдель и Гильберт когда-либо встречались или переписывались.
Год спустя, в 1929-м, Гёдель опубликовал в рамках своей диссертации теорему о полноте. Это был важный шаг к целям Гильберта.
Что такое полнота? Возьмем набор аксиом. К ним можно применить разные модели — например, аксиомы «есть две вещи» и «вещи разные». Моделями будут стороны монеты (орел и решка), руки (левая и правая) или просто числа ноль и один. Все эти модели выглядят по-разному, но описывают один и тот же математический объект — пару различных сущностей.
Гёдель доказал: любое утверждение, истинное во всех возможных моделях набора аксиом, обязательно выводимо из этих аксиом. Звучит почти как тавтология, но для сторонников Гильберта это стало обнадеживающим сигналом.
В сентябр5 1930 года Гёдель представил свою теорему о полноте на конференции в Кёнигсберге (сегодня это Калининград). А чуть позже в том же городе, но на другой конференции выступал Гильберт. Он произнес свою знаменитую фразу, которая позже будет высечена на его памятнике: «Мы должны знать — мы будем знать». Он отверг саму мысль о пределах человеческого познания.
Проблема в том, что к моменту этой речи Гильберт уже проиграл. Гёдель уничтожил его надежды днем ранее. Не шестого сентября, а седьмого.
Седьмого сентября во время дискуссии с коллегами-логиками Гёдель обронил фразу о «неразрешимых» утверждениях. Это такие утверждения, которые в рамках заданных аксиом нельзя доказать как истинные. Но — внимание — их нельзя доказать и как ложные. Родилась идея, которая навсегда ограничит горизонты математики.
Мы любим представлять, как Гёдель сидит в зале на выступлении Гильберта и тихо усмехается. Но доказательств этому нет. Конференции проходили в разных частях города. Зато точно известно, что в январе 1931 года Гёдель опубликовал теорему о неполноте — мрачное зеркало своей диссертации.
Эта теорема состоит из двух частей.
Первая теорема о неполноте. Какими бы ни были ваши аксиомы, внутри них всегда найдутся неразрешимые проблемы. Они похожи на математическую версию фразы «это предложение ложно» — высказывания, которое не может быть ни истинным, ни ложным. Для любой достаточно мощной системы аксиом всегда останется утверждение, которое из этих аксиом не вывести и не опровергнуть.
Вторая теорема о неполноте — вот где Гёдель нанес настоящий нокаут. Он показал: ни одна достаточно мощная система аксиом (именно те, которые волнуют математиков) не может сама доказать свою непротиворечивость.
Вернемся к аналогии с настольной игрой. Вы можете перечитывать правила сколько угодно, но никогда не будете уверены, что они не приведут к противоречивым результатам. А именно гарантию отсутствия противоречий хотел получить Гильберт для аксиом арифметики. Гёдель доказал, что эта задача как раз и есть неразрешимая.
Конечно, есть лазейка. Если перейти к другому набору аксиом, можно попытаться доказать непротиворечивость старых. Но тогда новые аксиомы сами окажутся неполными — в них появятся свои противоречия. Математикам вместо бесконечных горизонтов приходится довольствоваться непознаваемым.
Как отреагировал Гильберт на эту новость, способную разрушить его картину мира?
Невероятно, но никак — по крайней мере публично. Биограф Гёделя Джон Доусон выяснил, что Гёдель отправил черновик своей статьи ассистенту Гильберта Паулю Бернайсу. Тот подтвердил получение. Позже Бернайс получил и копии опубликованной работы. Доусон пишет, что результаты Гёделя «вызвали гнев Гильберта». Но единственный раз, когда Гильберт взялся за перо в ответ, случился лишь в 1934 году. В книге, написанной в соавторстве с Бернайсом, Гильберт написал: «Мнение, которое временно возникло и утверждало, что некие недавние результаты Гёделя показывают невозможность реализации моей теории доказательств, оказалось ошибочным».
Бедный Гёдель так и не получил от Гильберта нормального ответа. По сути, он разрушил мечту великого математика о науке как бесконечном двигателе познания. Возможно, Гильберт просто не смог с этим смириться.
Post Scriptum
В конечном счете Гёдель победил. Сегодня теорема о неполноте — часть математического канона. Ее принимают как данность. Математика стала от этого одновременно и богаче, и беднее.
Богаче — потому что мы поняли нечто фундаментальное о природе знания. Беднее — потому что нам пришлось отказаться от мечты о полной, законченной, непротиворечивой системе, способной объяснить всё.
Курт Гёдель родился в 1906 году — в самый разгар величайшего кризиса, который знала математика. Он помог этот кризис разрешить, но запер ученых в мире куда меньшем, чем тот, который существовал до него. Человек, который разрушил математику, оказался одним из самых важных мыслителей двадцатого века.
Остается только гадать: не чувствовал ли сам Гёдель себя неполным из-за того, что Гильберт так и не признал его правоту?
-----
Еще больше интересных постов в нашем Telegram.
Заходите на наш сайт, там мы публикуем новости и лонгриды на научные темы. Следите за новостями из мира науки и технологий на странице издания в Google Новости