Когда математик выводит новую теорему, он испытывает странное чувство, которое трудно описать словами. С одной стороны, он ощущает себя творцом — ведь именно он, напрягая ум, нашёл путь через лес символов и выстроил стройную цепочку рассуждений. С другой — его не покидает ощущение, что теорема уже была там, ждала его, как ждёт путешественника ещё не открытый материк. Он не придумал её, он её нашёл. Это двойственное переживание — быть одновременно и творцом, и первооткрывателем — лежит в самом сердце математического опыта. И оно ведёт к вопросу: математика открывается или изобретается? Существуют ли числа и геометрические фигуры где-то в мире идей, независимо от нашего сознания?
Мир идей, где обитают числа
Древние греки, впервые задавшие этот вопрос всерьёз, склонялись к тому, что математические истины существуют независимо от человека. Для Платона числа и геометрические фигуры обитали в особом мире, мире идей, вечном и неизменном. Мы не изобретаем теорему Пифагора, мы её открываем, как мореплаватель открывает новый остров, который существовал задолго до него. Математика в этом понимании не представляет собой продукт человеческого разума; скорее, она — это окно, через которое разум созерцает вечную структуру реальности. Математические объекты не имеют ни времени, ни места, ни материи, но они реальны. Пифагорейцы, обнаружив, что музыкальные интервалы подчиняются простым числовым отношениям, пришли к выводу: числа правят миром, а мир подчиняется числу. Этот платоновский взгляд на математику оказался невероятно живучим.
Мы строим математику своими руками
Есть и другая позиция, корни которой ведут к Аристотелю, полагавшему, что общее не существует отдельно от единичных вещей. В XX веке эта линия получила мощное развитие в работах математиков-конструктивистов и интуиционистов. Лейтмотив этого направления таков: математика — не открытие готового мира, а построение и конструирование. Математические объекты существуют только тогда, когда они построены по определённым правилам. Логик и математик Лёйзен Брауэр, основатель интуиционизма, утверждал, что математические истины не существуют независимо от нашего сознания. Они рождаются в акте интуиции, в построении мысленных конструкций.
Почему математика так хорошо описывает физику?
Однако у сторонников открытия есть сильный козырь: невероятная эффективность математики в естественных науках. Физик Юджин Вигнер назвал это «непостижимой эффективностью математики в естественных науках». Почему чисто умозрительные конструкции, созданные математиками для собственного удовольствия, через десятилетия оказываются именно тем языком, на котором говорит природа? Неевклидова геометрия, созданная Лобачевским, казалась абстрактной игрой разума, пока Эйнштейн не обнаружил, что пространство-время устроено именно по этим законам. Теория групп, чисто математическая дисциплина, оказалась основой для описания элементарных частиц. Комплексные числа, которые в XVII веке считали «невозможными» и «мнимыми», стали фундаментом квантовой механики. Случайно ли такое совпадение? Последователь Платона скажет, что нет, потому что математика и есть язык реальности. Адепт эмпиризма же возразит: мы просто отбираем те математические структуры, которые работают, и забываем о тысячах других, которые ни к чему не привели. А конструктивист добавит: мы сами строим физику на основе тех математических понятий, которые нам удобны, так что удивляться эффективности нечему — это эффективность нашего собственного мышления.
ТАКЖЕ МОЖЕТЕ ПРОЧЕСТЬ В МОЁМ БЛОГЕ:
Математика менялась вместе с нами
С одной стороны, многие открытия действительно были сделаны одновременно и независимо в разных культурах, что наводит на мысль о некой объективной реальности, к которой разные народы приходят разными путями. Теорема Пифагора была известна в Вавилоне, Индии и Китае задолго до Пифагора. С другой стороны, у разных культур были совершенно разные представления о том, что считать числом, а что — нет. У древних греков не было понятия нуля. У римлян не было позиционной системы счисления. У некоторых народов нет числа больше трёх, а всё, что больше, обозначается как «много». Учёные спорят: эти различия говорят о том, что математика — продукт культуры, или о том, что мы просто по-разному подходим к одной и той же реальности? Философ Иммануил Кант предложил компромиссное решение: математические истины априорны, они заложены в структуре нашего восприятия. Пространство и время — это формы чувственности, поэтому геометрия и арифметика истинны для всех людей. Но мы не знаем, как устроен мир сам по себе, вне нашего восприятия. Кантовский подход — это попытка примирить кажущуюся универсальность математики с очевидной ролью человеческого разума в её построении.
Современный синтез
Математика не чистое открытие предсуществующего мира и не чистое изобретение человеческого ума. Скорее, это взаимодействие. Мы строим математические объекты из имеющихся у нас концептуальных кирпичиков, однако внутри созданной нами системы мы сталкиваемся с неожиданными свойствами, которые не закладывали в неё сознательно. Теорема, которую мы доказываем, оказывается и неизбежным следствием принятых аксиом, и в этом смысле — открытием. Когда математик доказывает, что простых чисел бесконечно много, он не изобретает этот факт, он его обнаруживает. Но сама идея числа, аксиомы арифметики — это наше изобретение. Математик, подобно шахматисту, изобретает правила игры, но, играя по этим правилам, сталкивается с положениями, которые из правил вытекают, но не были в них явно записаны.
Почему этот спор имеет значение
Если математика — это открытие, значит, наш разум способен проникать в глубинную структуру реальности и выходить за пределы чувственного опыта. Это очень воодушевляющий образ науки. Если математика — изобретение, то наша наука не «читает» книгу природы, а скорее создаёт удобные карты, которые позволяют нам ориентироваться в мире, но не обязательно отражают его истинное устройство.
Вероятнее всего, истина лежит где-то посередине. Мы одновременно открываем и изобретаем. Мы изобретаем язык, но на этом языке природа, кажется, говорит сама с собой. И в этом напряжении между тем, что мы создаём, и тем, что находим, — самая глубокая загадка человеческого познания.
На этом всё. Спасибо!
***
Меня зовут Анна, я репетитор по математике с 20-летним стажем. Помогаю с подготовкой к ЕГЭ, ОГЭ, помогаю с прохождением ДВИ.
Занимаюсь также и со взрослыми учениками — если хотите освежить в памяти математические знания, если математика вам нужна для работы/учёбы, или если вы хотите заняться математикой для себя, то обращайтесь!
Связаться со мной можно через Телеграм (@annavladimirovnamath)
Кроме того, могу дать небольшую консультацию тем, кто сам хочет заняться репетиторством.
***
Делитесь мнениями, комментариями, ставьте лайки и подписывайтесь на мой канал — здесь и в Телеграме, там много интересного и полезного!