Вышли новые типы - там почему бы не закрепить всё задание целиком? Поехали!
Тип 1: катеты треугольника
Теория. Катетами прямоугольного треугольника называются отрезки, образующие прямой угол.
Задание. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник. Найдите длину его большего катета.
Катеты треугольника равны 5 и 7.
Ответ: 7
Тип 2: площадь треугольника
Теория. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Задание. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Площадь равна половине произведения стороны на проведенную к ней высоту, то есть S = 7 · 4 : 2 = 28 : 2 = 14.
Ответ: 14
Тип 3: средняя линия треугольника
Теория. Средняя линия треугольника делит две его стороны пополам, параллельна третьей стороне и равна её половине.
Задание. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Среднюю линию самостоятельно провести не удастся, так как при попытках это сделать мы просто не найдём целых клеток на границах с треугольником.
Тогда воспользуемся тем, что средняя линия параллельна АС, а значит равна половине этой стороны. AC = 8, тогда средняя линия 4.
Ответ: 4
Тип 4: диагонали ромба
Теория. Диагонали ромба - это отрезки, соединяющие его противоположные вершины.
Задание. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Диагонали ромба равны 4 и 10.
Ответ: 10
Тип 5: площадь ромба
Теория. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Задание. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Площадь равна половине произведения диагоналей, то есть S = 10 · 8 : 2 = 80 : 2 = 40.
Ответ: 40
Тип 6: площадь параллелограмма
Теория. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Задание. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.
Площадь равна произведению стороны на проведенную к ней высоту, то есть S = 5 · 4 = 20.
Ответ: 20
Тип 7: средняя линия трапеции
Теория. Средняя линия трапеции делит две его боковые стороны пополам, параллельна основаниям равна их полусумме.
Задание. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Требуется найти длину её средней линии.
Среднюю линию самостоятельно провести не удастся, так как при попытках это сделать мы просто не найдём целых клеток на границах с треугольником.
Тогда воспользуемся тем, что средняя линия равна полусумме оснований, то есть (3 + 9) : 2 = 6.
Ответ: 6
Тип 8: площадь трапеции
Теория. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.
Задание. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Площадь равна произведению полусуммы оснований на высоты, то есть S = (7 + 3) : 2 * 2 = 10.
Ответ: 10
Тип 9: площадь круга
Теория. Площадь круга равна произведению числа π на радиус круга в квадрате.
Задание. На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Больший круг. Его диаметр 6, значит радиус 3, а площадь равна π · r² = π · 3² = π · 9 = 9π.
Меньший круг. Его диаметр 4, значит радиус 2, а площадь равна π · r² = π · 2² = π · 4 = 4π.
Тогда площадь большего больше площади меньшего в 9π : 4π = 2,25 раза.
Ответ: 2,25
Тип 10: площадь круга (усложненная)
Задание. На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Меньший круг. Его диаметр 2, значит радиус 1, а площадь равна π · r² = π · 1² = π · 1 = 1π.
Больший круг. Его диаметр сразу посчитать нельзя, но можно это сделать через теорему Пифагора: D² = a² + b² = 2² + 2² = 4 + 4 = 8, отсюда D = √8 = 2√2, отсюда r = √2. Тогда площадь большего круга равна π · r² = π · √2² = π · 2 = 2π.
Тогда площадь большего больше площади меньшего в 2π : 1π = 2 раза.
Ответ: 2
Тип 11: подобие треугольников
Теория. В подобные треугольниках высота относятся как коэффициент подобия.
Задание. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена фигура. Найдите длину отрезка АВ по данным чертежа.
Достроим треугольник. Тогда два полученных треугольника подобны, т.к. имеют две пары равных углов (один общий, два других равны как соответственные при параллельных прямых. Проведём высоты.
Тогда сторона больше треугольника будет относится к стороне меньше как относится высота большего к высоту меньшего: 6 : AB = 6 : 4. Отсюда AB = 6 · 4 : 6 = 4.
Ответ: 4
Тип 12: теорема Пифагора
Теория. Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Задание. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
По теореме Пифагора: c² = a² + b² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25, отсюда c = 5.
Ответ: 5
Тип 13: теорема Фалеса
Теория. Теорема Фалеса гласит, что "если через стороны угла провести несколько параллельных прямых, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки."
Задание. На клетчатой бумаге изображен треугольник ABC. Во сколько раз отрезок ВМ короче отрезка СМ?
Достроим угол и проведен параллельные прямые. Тогда получим что BM пропорционален единице, а MC пропорционален 2, то есть BM : 1 = СM : 2, отсюда 1CM = 2BM, то есть ВМ короче СМ в 2 раза.
Ответ: 2
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какой тип оказался самым сложным?
Это займёт 10 секунд, а я смогу подстроить тренажёр именно под ваши ошибки.
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — закрепить задания 18.
👉 Разбор самых частых ошибок задания 18 - [выйдет в пятницу].
👉 Тренажёр по всем типам задания 18 - [выйдет в субботу]
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор всех типов задания 16 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.