984 подписчика

Школьные задачи / Алгебра / А-110

СегодняСегодня

2 мин

Решите уравнение: ch x · ch y = 1 (функция гиперболического косинуса числа t обозначается как ch t и определяется как половина суммы eᵗ и e⁻ᵗ). Начать поиск решения имеет смысл с изучения поведения функции гиперболического косинуса. Для этого найдём производную ch t по переменной t: Отыщем значения аргумента, при которых производная обращается в ноль: ¹/₂·(eᵗ – e⁻ᵗ) = 0 ⇔ eᵗ – e⁻ᵗ = 0 ⇔ eᵗ = e⁻ᵗ ⇔ t = –t ⇔ 2t = 0 ⇔ t = 0 Найдём знак производной при t < 0. Возьмём t = –1: ¹/₂·(e⁽⁻¹⁾ – e⁻⁽⁻¹⁾) = ¹/₂·(e⁻¹ – e¹) = ¹/₂·(1/e – e) Число e ≈ 2,71 > 1, значит 1/e < 1 и ¹/₂·(1/e – e) < 0 Аналогично находим знак производной ch t при t > 0. Положим t = 1: ¹/₂·(e¹ – e⁻¹) = ¹/₂·(e – 1/e) > 0 Итак, производная гиперболического косинуса равна нулю в точке t = 0, при меньших значениях аргумента она отрицательна (то есть на промежутке

t ∈ (–∞; 0) функция монотонно убывает), при t > 0 производная положительна (функция монотонно возрастает). Отсюда следует, что t = 0 является точкой экстремума, а именно

Оглавление

Задание
Решение
Ответ

Задание

Решите уравнение:

ch x · ch y = 1

(функция гиперболического косинуса числа t обозначается как ch t и определяется как половина суммы eᵗ и e⁻ᵗ).

Решение

Начать поиск решения имеет смысл с изучения поведения функции гиперболического косинуса. Для этого найдём производную ch t по переменной t:

Отыщем значения аргумента, при которых производная обращается в ноль:

¹/₂·(eᵗ – e⁻ᵗ) = 0 ⇔

eᵗ – e⁻ᵗ = 0 ⇔

eᵗ = e⁻ᵗ ⇔

t = –t ⇔

2t = 0 ⇔

t = 0

Найдём знак производной при t < 0. Возьмём t = –1:

¹/₂·(e⁽⁻¹⁾ – e⁻⁽⁻¹⁾) = ¹/₂·(e⁻¹ – e¹) = ¹/₂·(1/e – e)

Число e ≈ 2,71 > 1, значит 1/e < 1 и

¹/₂·(1/e – e) < 0

Аналогично находим знак производной ch t при t > 0. Положим t = 1:

¹/₂·(e¹ – e⁻¹) = ¹/₂·(e – 1/e) > 0

Итак, производная гиперболического косинуса равна нулю в точке t = 0, при меньших значениях аргумента она отрицательна (то есть на промежутке
t ∈ (–∞; 0) функция монотонно убывает), при t > 0 производная положительна (функция монотонно возрастает). Отсюда следует, что t = 0 является точкой экстремума, а именно – точкой минимума. Минимальное значение гиперболического косинуса получается равным:

ch 0 = (e⁰ + e⁻⁰)/2 = 1

Теперь можно вернуться к собственно решению исходного уравнения. Как видно, левая его часть представляет собой произведение двух величин ch x и ch y , каждая из которых всегда больше или равна единице, но тогда равенство единице всего произведения возможно лишь в случае одновременного равенства единице каждого из множителей:

Получается, что решением уравнения является единственная пара чисел x = 0, y = 0.

Ответ

x = 0, y = 0

Комментарий

Обычно к уравнению с двумя переменными «идёт в комплекте» второе, также эти переменные содержащее – они образуют систему, которую учащиеся затем и решают. В данном задании равенство всего одно, говорящее о том, что возможны такие выражения с двумя неизвестными, для отыскания конкретных значений которых второе равенство не требуется.

Для учеников, знакомых с функцией дробной части числа (см. задание А-17), задание можно усложнить и предложить поиск решений уравнения:

ch {x}· ch {y} = 1

– его корнями является любая пара целых чисел x и y.

Также хотелось бы отметить ещё один любопытный момент. В задании А-76 давалось определение гиперболического синуса sh t:

sh t = (eᵗ – e⁻ᵗ)/2

и нетрудно заметить, что он есть производная гиперболического косинуса:

(ch t)' = sh t

Для наглядности на рисунке ниже приведены графики функций y = sh x и
y = ch x .