Может ли алгебра Кэли, или система гиперкомплексных чисел, помочь физикам найти единую математическую основу, описывающую всю Вселенную?
На протяжении десятилетий физики ищут единую теорию, способную описать все фундаментальные взаимодействия в природе одной элегантной формулой. Этот святой Грааль науки, кажется, вечно ускользает, оставляя после себя след красивых, но неполных моделей. Сегодня новое поколение исследователей обратило взор на забытую и экзотическую ветвь математики — мир чисел с восемью измерениями, известных как октонионы. Эта необычная система счисления может оказаться тем самым недостающим звеном, на котором написаны истинные законы мироздания. Возможно, мы так долго не могли прочитать главную книгу природы просто потому, что пытались понять ее на неправильном математическом наречии?
Наш повседневный мир мы описываем с помощью привычных вещественных чисел — одной, двух, десяти. Однако физика микромира давно перешагнула границы этой простой арифметики. Квантовая механика — основа современной технологии — фундаментально опирается на комплексные числа, которые включают в себя мистический «мнимый» компонент, квадратный корень из минус одного. Это уже не просто точки на линии, а целая двумерная плоскость.
В 1843 году ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон совершил следующий шаг, открыв кватернионы — четырехмерную алгебру (элемент имеет вид a+bi+cj+dk). Она широко используются для описания поворотов в трехмерном пространстве; их применяют в компьютерной графике, робототехнике и навигации.
А уже через несколько месяцев друг Гамильтона Джон Грейвс открыл еще более удивительную систему — октонионы, восьмимерная алгебра.
Важное математическое различие: кватернионы некоммутативны, но ассоциативны; октонионы уже неассоциативны (они «альтернативны»), из-за чего с ними сложнее работать, и это частично объясняет, почему они реже встречаются в прикладных задачах по сравнению с кватернионами. Тем не менее октонионы имеют устойчивые применения в чистой математике и теоретической физике (например, в теориях, где появляются исключительные группы Ли и в некоторых подходах к теории струн).
Эти четыре семейства — вещественные, комплексные числа, кватернионы и октонионы — математики называют «нормированными алгебрами деления». Они уникальны тем, что только в рамках этих систем операции сложения, вычитания, умножения и деления ведут себя предсказуемо и корректно. Существуют и более «дикие» системы, например, 16-мерные седенионы, но в них привычные правила арифметики начинают давать сбой.
Природа, судя по всему, благосклонна именно к этой математической четверке. Вещественные и комплексные числа составляют основу всех современных физических теорий, от квантовой механики до Стандартной модели элементарных частиц. Элегантную математическую структуру общей теории относительности Эйнштейна можно выразить языком кватернионов.
Долгое время октонионы оставались пасынком физики — красивой математической абстракцией без явной связи с реальностью. Это заставляет подозревать, что октонионы — величайшая и наименее понятная из четырех систем — тоже должны оказаться важными.
С 1970-х годов физики пытались встроить октонионы в свои теории, но безуспешно. Однако новое поколение ученых, вооруженное новыми методами, не испугалось этого проклятия и, кажется, наметило путь к прорыву.
Отражения симметрий и русские матрешки
Ключ к возможному успеху лежит в понимании «внутренних симметрий» — абстрактных свойств, которые определяют характер фундаментальных сил и отношения между элементарными частицами. Все эти частицы описываются набором квантовых чисел — массой, зарядом, спином. Если частица превращается в другую, одни числа меняются, а другие остаются неизменными. Именно эти законы сохранения и задают структуру Стандартной модели.
Предполагается, что в горячей и плотной молодой Вселенной царили более высокие симметрии. Некоторые силы, которые сегодня мы воспринимаем как отдельные, например, электромагнетизм и слабое ядерное взаимодействие, были единым целым. По мере остывания космоса часть симметрий «нарушалась», и единая теория распадалась на вложенные друг в друга модели, похожие на матрешку.
Одна из самых популярных кандидаток на роль самой большой, внешней «матрешки» — так называемая Великая объединенная теория — известна как модель spin(10). Она обладает сорока пятью симметриями. Внутри нее находится модель Пати — Салама с двадцатью одним симметриями, затем лево-правая симметричная модель с пятнадцатью симметриями и, наконец, наша Стандартная модель с двенадцатью.
Долгое время физики не понимали, что диктует строгий порядок, в котором симметрии покидают теорию на каждом этапе охлаждения Вселенной. В августе 2022 года Николь Фьюри из Берлинского университета имени Гумбольдта и Миа Хьюз из Имперского колледжа Лондона впервые показали, что алгебры деления, и особенно октонионы, могут предоставить эту недостающую связь .
Используя так называемую алгебру Диксона, которая позволяет комбинировать все четыре системы чисел, ученые перевели математические симметрии и описания частиц различных моделей на язык алгебр деления. Результатом стала сложная конструкция: набор октонионов, задаваемых кватернионами, которые, в свою очередь, определяются комплексными числами, опирающимися на вещественные числа.
Но этот «зверь» оказался чрезвычайно мощным. Новая формулировка выявила интригующее свойство слоев «матрешки». Когда некоторые числа в формулировках, использующих комплексные числа, кватернионы и октонионы, меняют знак с плюса на минус или наоборот, часть симметрий изменяется, а часть — нет. И только те, что остаются неизменными, обнаруживаются в следующем, более глубоком слое реальности.
«Это позволило нам увидеть связи между этими хорошо изученными моделями частиц, которые раньше никто не замечал», — говорит математик Фьюри. Этот механизм, который она называет «отражением алгебр деления», может диктовать то, что мы наблюдаем в реальном физическом мире, и, возможно, указывать путь к желанной теории Великого объединения.
Пока результат носит фундаментальный, математический характер. «Намекает, что может существовать некий физический процесс нарушения симметрии, который как-то зависит от этих отражений алгебр деления, но пока природа этого процесса остается довольно загадочной», — отмечает Хьюз. Однако Фьюри считает, что работа может иметь практические последствия для экспериментов. Сейчас ее команда исследует, говорят ли алгебры деления о том, что можно, а что нельзя напрямую измерить на разных энергетических масштабах. Предварительный анализ показывает, что есть наборы измерений, которые физики смогут проводить на низких энергиях, и те, что останутся для нас недоступными.
Среди специалистов по октонионам это исследование вызвало заметный резонанс. Коррин Маног из Университета штата Орегон, десятилетиями работающая в этой области, отмечает, что сейчас интерес переживает подъем — «во многом, я думаю, из-за сильной репутации и убежденности Фьюри».
Связь пространства, времени и вещества
Интригующие идеи, связанные с октонионами, на этом не заканчиваются. Лэтэм Бойл исследует другую экзотическую математическую структуру — «исключительную алгебру Йордана», открытую немецким физиком Паскуалем Йорданом в 1930-х годах. Эта алгебра тесно связана с октонионами.
Если копнуть достаточно глубоко, то внутри исключительной алгебры Йордана можно найти математическую структуру, которую мы используем для описания четырехмерного пространства-времени Эйнштейна. Более того, там же скрывается и та самая математическая структура, которую физики вывели совершенно другим путем в начале 1970-х для описания частиц и сил Стандартной модели. Другими словами, это октонионная связь между нашими теориями пространства, времени, гравитации и квантовой физики. «Я думаю, это очень поразительное, интригующее и наводящее на размышления наблюдение», — говорит Бойл.
Отталкиваясь от этого, Бойл обнаружил нечто важное в способе включения класса частиц под названием фермионы — к ним относятся электроны и кварки — в язык, основанный на октонионах. Фермионы «хиральны», то есть их зеркальные отражения выглядят иначе. Это создавало проблему для их включения в октонионные версии Стандартной модели. Однако Бойл нашел способ это исправить, и решение привело к удивительному побочному эффекту. Восстановление нарушенной в Стандартной модели зеркальной симметрии также позволяет октонионным фермионам комфортно разместиться в лево-правой симметричной модели — на одну ступень ближе к Великому объединению.
Эта линия рассуждений может завести нас даже дальше — к объяснению происхождения самой Вселенной. Бойл совместно с коллегой Нейлом Туроком работает над гипотезой «двулистной вселенной», связанной с симметриями заряда, четности и времени. «В этой гипотезе Большой взрыв представляет собой своего рода зеркало, отделяющее нашу половину Вселенной от ее зеркального отражения по ту сторону взрыва», — объясняет Бойл. Оказывается, октонионные свойства фермионов, которые живут в лево-правой симметричной модели, играют важную роль в разработке непротиворечивой теории для такой вселенной.
Post Scriptum
Пока все открытия, связывающие октонионы с физикой, носят скорее предварительный, чем окончательный характер. Никто еще не создал полноценную физическую теорию на их основе, которая делала бы новые проверяемые предсказания для коллайдеров.
Однако Бойл, Фьюри, Хьюз и их коллеги все больше увлекаются возможностью, что эта странная математика действительно может стать лучшим путем к пониманию происхождения законов природы. Бойл даже полагает, что октонионный подход может оказаться не менее плодотворным, чем дорогостоящие эксперименты по поиску новых частиц.
Октонионы, рожденные почти два века назад как чистая игра ума, медленно, но верно прокладывают путь из царства абстракции в самое сердце теоретической физики. Станут ли они тем универсальным языком, на котором Вселенная расскажет нам свою главную тайну, покажет лишь время. Но само путешествие по этому странному математическому ландшафту уже меняет наше представление о том, как устроена реальность.
-----
Еще больше интересных постов в нашем Telegram.
Заходите на наш сайт, там мы публикуем новости и лонгриды на научные темы. Следите за новостями из мира науки и технологий на странице издания в Google Новости