Математику давно считают самым надежным языком, с помощью которого можно описать Вселенную. Но и она опирается на аксиомы – изначальные предположения, абсолютную истинность которых никогда нельзя доказать. Это ставит под вопрос самочувствие «идеальной науки».
С математикой мы знакомы с детства. Она строгая, точная, убедительная — словно единственная неизменная система координат мира. Ученые строят гипотезы, инженеры проектируют здания, а астрофизики выстраивают модели Вселенной – и все кажется выверенным до последнего знака.
Однако некоторые математики вроде Пенелопа Мэдди из Калифорнийского университета, утверждают, что надежность этой науки ограничена, потому что вся она основана на аксиомах — утверждениях, которые принимаются как истинные без доказательства. Это, увы, не теория заговора, а общеизвестная дилемма. То, что математика строится на недоказуемых аксиомах, — не секрет.
Что такое аксиома?
Аксиома — это некое первичное утверждение, принимаемое без доказательства. Ученый наблюдает закономерность, формулирует ее и объявляет аксиомой.
Простой пример — в евклидовой геометрии: между двумя точками всегда можно провести одну‑единственную прямую. Это кажется самоочевидным — и на этом строится вся геометрия.
Еще один пример — закон коммутативности: 1 + 2 равно 2 + 1. Этот принцип лежит в основе арифметики.
Но математика не ограничивается простыми построениями. Она изучает свойства чисел, связи между ними и отражение этих понятий в реальном мире. Сложные теоремы и модели тоже требуют аксиом — и не факт, что одни и те же аксиомы подойдут во всех контекстах. Например, геометрия на плоскости и на сфере требует разных предварительных предпосылок. Ошибка в аксиомах — и модель рушится. Значит, важно избегать ложных посылок.
Мощь теории множеств, но без гарантии
Золотой стандарт опоры всей математики — теория множеств. В XX веке Эрнст Цермело и Абрахам Френкель выстроили гибкую систему аксиом с выборочным принципом (так называемая ZFC).
Если бы ZFC оказалась непротиворечивой, математика могла бы ровно стоять на ней, словно небоскреб на прочном фундаменте. Но, увы, доказать непротиворечивость ZFC можно только, опираясь на еще более сильные аксиомы — и смысл теряется.
Однако практики не паникуют: «Теоремы в рамках ZFC доказывают вот уже сто лет — и ни разу не столкнулись с противоречием», — рассказывает Пенелопа Мэдди. Этого вполне достаточно, чтобы идти дальше. Более того, математики научились оценивать, насколько можно доверять теории, построенной на ZFC.
Стремление к идеальной аксиоматической системе — так же реалистично, как и мечта получить абсолютное понимание всей Вселенной.
Гёдель и его «недостаточность»
В начале 1930-х Курт Гёдель показал, что любая математическая система внутри себя неизбежно порождает утверждения, которые нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть. Это классический результат – теоремы о неполноте.
Полный и совершенный математический строй невозможен. Это не означает конец науки: скорее, реалистичное признание границ, через которые нельзя перепрыгнуть. Как говорит Дэвид Асперо из Университета Восточной Англии: «Это факт, с которым все математики научились жить».
Зачем это важно и почему математики спокойно
Никаких катастроф не предвидится. Математика продолжает работать, модели строятся, технологии совершенствуются. Математики посмеиваются: «Аксиомы — просто фон для работы».
И даже ограничения имеют свою привлекательность. Как отмечает Фишер, «возможность развиваться, улучшаться и пересматривать свои основы — как раз то, что делает математику по-настоящему увлекательной и живой».
Post Scriptum
Математика — надежный инструмент, который позволяет человечеству объяснять и исследовать мир. При этом она не всегда надежна.
Мы опираемся на аксиомы — безусловные правила, но в них есть своего рода доля веры. Мы знаем и признаем: эти аксиомы не доказываются. Теория множеств ZFC доказала свою прочность, но не абсолютную. А Гёдель ясно сказал: любые попытки полностью закрыть строй обречены на компромиссы.
Тем не менее математика живет и движется вперед. Ее сила не в том, чтобы быть вечной и безупречной, а в способности развиваться, исправлять себя и с азартом шагать в неизвестность. Именно здесь, в этих границах, рождается настоящее очарование науки.
-----
Смотрите нас на youtube. Еще больше интересных постов на научные темы в нашем Telegram.
Заходите на наш сайт, там мы публикуем новости и лонгриды на научные темы. Следите за новостями из мира науки и технологий на странице издания в Google Новости